[3] A concentração média de dióxido de carbono (CO2) na atmosfera terrestre (em partes por milhão por volume) é dada pela tabela abaixo. Encontre um polinômio que interpole os dados use-o para estimar a concentração de CO2 em 1950.
c|cccc Ano & 1800 & 1850 & 1900 & 2000 hline CO2 & 280 & 283 & 291 & 370

Passo 1

Beleza, o enunciado diz que temos quatro pontos com ano e concentração de CO₂:
(1800, 280), (1850, 283), (1900, 291) e (2000, 370).
O conteúdo é Interpolação Polinomial (Lagrange, por exemplo) e o que vamos precisar é construir um polinômio que passe por esses quatro pontos e então calcular seu valor em 1950.

Passo 2

Antes de botar a mão na massa, vale entender a fórmula de Lagrange. Se você tem n+1 pontos P(x) = sumi=0^n yi,Li(x), , o polinômio interpolador de grau ≤n é
Li(x)=prodsubstackj=0jneq i^nx - xjxi - xj
onde
é o “peso” do ponto . A ideia é que para e , fazendo cada aparecer na parcela certa.

Passo 3

Vamos aplicar isso em L0(1950)=(1950-1850)(1950-1900)(1950-2000)(1800-1850)(1800-1900)(1800-2000) =100cdot50cdot(-50)(-50)cdot(-100)cdot(-200)=0.25 . Indexando nossos pontos de 0 a 3:
L1(1950)=(1950-1800)(1950-1900)(1950-2000)(1850-1800)(1850-1900)(1850-2000) =150cdot50cdot(-50)50cdot(-50)cdot(-150)=-1
Calculamos cada L2(1950)=(1950-1800)(1950-1850)(1950-2000)(1900-1800)(1900-1850)(1900-2000) =150cdot100cdot(-50)100cdot50cdot(-100)=1.5 :
L3(1950)=(1950-1800)(1950-1850)(1950-1900)(2000-1800)(2000-1850)(2000-1900) =150cdot100cdot50200cdot150cdot100=0.25

Passo 4

Agora montamos P(1950) =280cdot0.25 + 283cdot(-1) + 291cdot1.5 + 370cdot0.25 =70 -283 +436.5 +92.5 =316 :

Resposta

A concentração de CO₂ em 1950 estimada pelo polinômio interpolador é aproximadamente ppm.

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