[2] Considere a função f(x)=cos (x) e os nós x0=0, x1=0,6 e x2=0,9.
Usando os polinômios de Lagrange, encontre o polinômio linear (n=1 ) que interpola f(x) e aproxime f(0,45).

Passo 1

Beleza, vamos recapitular o que o enunciado pede. A gente tem a função
f(x)=cos(x)
e três pontos (nós)
x0=0, x1=0,6, x2=0,9
Mas como querem o polinômio de Lagrange de grau 1 (linear), basta usar dois nós — e faz mais sentido pegar aqueles entre os quais nosso está, ou seja, e .
O conteúdo aqui é Interpolação de Lagrange: a fórmula geral do polinômio que “passa” pelos pontos dados, usando os chamados polinômios base .

Passo 2

Teoria rápida de Lagrange: para L1(x)=f(x0),l0(x)+f(x1),l1(x), (dois pontos), o polinômio é
l0(x)=x-x1x0-x1, l1(x)=x-x0x1-x0
onde
l0(x)=x-0,60-0,6=0,6-x0,6, l1(x)=x-00,6=x0,6
Aqui L1(x) =1cdot0,6-x0,6 +cos(0,6)cdotx0,6 =0,6-x0,6+x0,6cos(0,6) e .
Então:
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Passo 3

Agora é trocar L1(0,45) =0,6-0,450,6 +0,450,6cos(0,6) em 0,6-0,450,6=0,150,6=0,25, 0,450,6=0,75 :
L1(0,45)=0,25+0,75cos(0,6)
Calculemos passo a passo:
L1(0,45)approx0,25+0,75times0,825336approx0,8690
Então
Se precisar do valor numérico, , daí

Resposta

O polinômio linear de Lagrange é
L1(x)=0,6-x0,6+x0,6cos(0,6)
e a aproximação em L1(0,45)=0,25+0,75cos(0,6)approx0,8690 fica

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