Aplique o método de Newton-Raphson bi-dimensional para determinar o ponto que é raiz das duas funções abaixo, simultaneamente:
Use como ponto inicial
.
Passo 1
Beleza, o enunciado pede pra encontrar o ponto
que zera ao mesmo tempo duas funções:
Isso é um sistema de equações não‐lineares em duas variáveis. Vamos usar o método de Newton‐Raphson bidimensional, que precisa de:
- O vetor
. - A matriz Jacobiana
- A fórmula de iteração
Ponto inicial dado:
.
Passo 2
Primeiro a gente monta
e
:
[
F(x)=
]
e as derivadas parciais
Em cada iteração a gente avalia
e
em
, inverte
, faz
e atualiza
.
Passo 3
Iteração 1, em
:
- Avalia
: - Avalia
: -
Inverte
:
[
J^{-1} = \frac1{14.4}
.
] - Calcula
. - Atualiza
Passo 4
Iteração 2, em
:
Passo 5
Iteração 3, em
:
Passo 6
Iteração 4, em
:
Aí já estamos num ponto em que
dá algo da ordem de
. Se a gente quiser mais precisão, repete até
, por exemplo.
Resposta
Aproximando até uma tolerância de
, o método converge para
Esse é o ponto onde as duas curvas se cruzam começando de
.