Aplique o método de Newton-Raphson bi-dimensional para determinar o ponto que é raiz das duas funções abaixo, simultaneamente:
& f1(x1, x2)=(x1-4)^2+(x2-4)^2-6=0 & f1(x1, x2)=(x1)^2+(x2)^2-16=0
Use como ponto inicial (x1, x2)=(2.1,1.2).

Passo 1

Beleza, o enunciado pede pra encontrar o ponto f1(x1,x2) = (x1-4)^2 + (x2-4)^2 - 6 = 0,[6pt] f2(x1,x2) = x1^2 + x2^2 - 16 = 0 que zera ao mesmo tempo duas funções:
J(x) ;=; partial f1partial x1 & partial f1partial x2 partial f2partial x1 & partial f2partial x2
Isso é um sistema de equações não‐lineares em duas variáveis. Vamos usar o método de Newton‐Raphson bidimensional, que precisa de:
  1. O vetor x^(k+1) ;=; x^(k) ;-; J(x^(k))^-1,F(x^(k)) .
  2. A matriz Jacobiana
  3. A fórmula de iteração
Ponto inicial dado: .

Passo 2

Primeiro a gente monta F(x)= f1 f2 = (x1-4)^2 + (x2-4)^2 -6 x1^2 + x2^2 -16 , e J(x)= 2(x1-4) & 2(x2-4)[4pt] 2x1 & 2x2 :
[
F(x)=

,
]
e as derivadas parciais
Em cada iteração a gente avalia e em , inverte , faz
e atualiza
.

Passo 3

Iteração 1, em f1 = (-1.9)^2 + (-2.8)^2 -6 = 5.45, f2 = 2.1^2 +1.2^2 -16 = -10.15 :
  1. Avalia J = -3.8 & -5.6[3pt] 4.2 & 2.4 , det J = (-3.8)(2.4)-(-5.6)(4.2)=14.4 : J^-1 = 114.4 2.4 & 5.6 -4.2 & -3.8 = 0.1667 & 0.3889 -0.2917 & -0.2639
  2. Avalia x^(1) = x^(0) - De:
  3. Inverte :
    [
    J^{-1} = \frac1{14.4}

    .
    ]
  4. Calcula .
  5. Atualiza

Passo 4

Iteração 2, em 2.276 & -7.776 10.276& 0.224 :
  1. J^-1approx 0.00279 & 0.09671 -0.1278 & 0.02832 , De
  2. x^(2) = (5.138,0.112) - (1.037,-1.036) = (4.101,;1.148)

Passo 5

Iteração 3, em 0.202 & -5.704 8.202 & 2.296 :
  1. De
  2. x^(3) = (4.101,1.148) - (0.362,-0.362) = (3.739,;1.510)

Passo 6

Iteração 4, em -0.522 & -4.980 7.478 & 3.020 :
  1. x^(4) = (3.739,1.510) - (0.059,-0.060) = (3.680,;1.570)
Aí já estamos num ponto em que dá algo da ordem de . Se a gente quiser mais precisão, repete até , por exemplo.

Resposta

Aproximando até uma tolerância de boxed(x1,x2)approx(3.68,;1.57) , o método converge para
Esse é o ponto onde as duas curvas se cruzam começando de .

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