Seja x=\frac{2057}{8}. Qual é a sua representação em diferentes bases numéricas?
(c) Base 16 (Hexadecimal).

Passo 1

O enunciado dá o número \displaystyle x=\frac{2057}{8} e pede a sua representação na base 16 (hexadecimal). Informação relevante que temos: o numerador é \displaystyle 2057 e o denominador é \displaystyle 8. A tarefa é escrever \displaystyle x usando os dígitos da base 16 (onde os dígitos válidos são \displaystyle 0,1,\dots,9,A,B,C,D,E,F).

Passo 2

Primeiro vamos separar a parte inteira da parte fracionária de \displaystyle x. Para isso dividimos \displaystyle 2057 por \displaystyle 8:
2057 \div 8 = 257\\ \text{com resto}\\\ 1.
Isto significa que
\displaystyle x = \frac{2057}{8} = 257 + \frac{1}{8}.
Explicação curta do porquê: a divisão inteira dá o número de vezes que o denominador cabe no numerador ( 257) e o resto ( 1) fica como numerador da fração residual.

Passo 3

Agora convertemos a parte inteira \displaystyle 257 para base 16 pelo método das divisões sucessivas por \displaystyle 16. A ideia: dividir por \displaystyle 16 e anotar os restos; os dígitos em base 16 são os restos lidos de baixo para cima (último resto é o dígito mais significativo). Fazendo as divisões:
257 \div 16 = 16\\ \text{com resto}\\\ 1,
16 \div 16 = 1\\ \text{com resto}\\\ 0,
1 \div 16 = 0\\ \text{com resto}\\\ 1.
Lendo os restos de baixo para cima obtemos os dígitos \displaystyle 1,0,1. Portanto a parte inteira em hexadecimal é \displaystyle 101_{16}.

Passo 4

Agora convertemos a parte fracionária \displaystyle \frac{1}{8} para base 16 pelo método das multiplicações sucessivas por \displaystyle 16. A ideia: multiplicar a fração por \displaystyle 16; a parte inteira do resultado é o próximo dígito hexadecimal depois da vírgula (ou ponto), e repetimos com a nova fração. Aplicando:
\frac{1}{8}\times 16 = 2.
Aqui a parte inteira da multiplicação é \displaystyle 2 e a parte fracionária resultante é 0, então a expansão termina. Assim a parte fracionária em base 16 é um único dígito \displaystyle 2, isto é \displaystyle 0,2_{16}.
Explicando por que isso faz sentido: \displaystyle \frac{1}{8}=\frac{2}{16}=2\cdot 16^{-1}, logo o dígito na posição 16^{-1} é \displaystyle 2.

Passo 5

Juntando parte inteira e parte fracionária obtemos a representação completa em base 16:
\displaystyle 257+\frac{1}{8} = 101,2_{16}.
Vamos verificar rapidamente avaliando em base 10:
1\cdot 16^{2} + 0\cdot 16^{1} + 1\cdot 16^{0} + 2\cdot 16^{-1} =256 + 0 + 1 + \frac{2}{16} =257 + \frac{1}{8},
que é exatamente \displaystyle x. Boa notícia: conferiu certinho.

Resposta

\displaystyle 101,2_{16}

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