(20%) Deduzir o método da bissecção ponderada.
Passo 1
O enunciado pede que eu deduza o método da bissecção ponderada.
Dados fornecidos (hipóteses necessárias para aplicar o método):
Dados fornecidos (hipóteses necessárias para aplicar o método):
- Uma função contínua
definida em um intervalo . - Os extremos do intervalo têm sinais opostos:
.
O que se pede: - Deduzir (ou seja, obter) a fórmula do ponto candidato
interior a que define a “bissecção ponderada” e explicar o procedimento iterativo para aproximar a raiz.
Observação: não começo a resolver aqui — apenas listei o que o problema dá e o que ele pede.
Passo 2
Ideia inicial e modelagem simples: em vez de tomar o ponto médio simples
, vamos escolher um ponto interior
que seja uma média ponderada de
e
. Escrevo isso como
onde
é um peso que ainda vamos determinar. Aqui
mede “quanto peso” damos ao extremo
em relação a
.
Motivação para escolher o peso a partir dos valores de : se a função é aproximadamente linear entre
e
, a interseção da reta que passa por
e
com o eixo
é um bom palpite para a raiz. Vou deduzir
resolvendo a reta entre os pontos pelo zero.
Motivação para escolher o peso a partir dos valores de
Passo 3
Equação da reta que passa por
e
: a forma ponto-inclinação dá, para
entre
e
,
Para achar a interseção com o eixo
faço
. Assim
Agora isolo
. Multiplico ambos os lados por
:
Expando:
Alguns termos cancelam (
e
), sobrando
Reagrupo os termos em
e os demais:
Fatorando
:
Finalmente:
Essa é a fórmula do ponto obtido pela interpolação linear entre
e
.
Passo 4
Interpretação como média ponderada: quero mostrar que essa expressão é uma média ponderada de
e
. Reescrevo
assim:
Como
e
têm sinais opostos, suponha por exemplo
e
. Defino
. Substituindo
ou reorganizando a expressão, obtém-se
Portanto
é de fato uma média ponderada entre
e
, com o peso em
proporcional a
e o peso em
proporcional a
. Intuição: quanto maior
em relação a
, mais o ponto
será deslocado em direção a
, e vice-versa.
Passo 5
Critério para atualizar o intervalo (manutenção do bracket): como em bissecção clássica, escolho o novo intervalo
de forma que os extremos continuem com sinais opostos, garantindo que a raiz esteja sempre contida. O procedimento é:
- Calculo
pela fórmula
- Avalio
. - Se
então a raiz está em , tomo . - Caso contrário (portanto
) tomo .
Esse processo mantém sempree a raiz dentro do intervalo atualizado.
Passo 6
Critério de parada e observações práticas:
- Critério em valores: paro se
(erro em função) ou se (tamanho do intervalo pequeno). Escolha de depende da precisão desejada. - Complexidade e convergência: este método (também conhecido como método da falsa posição, ou em português “falsa posição”) usa informação de inclinação local (interpolação linear) e geralmente converge mais rápido que a bissecção simples quando
é aproximadamente afim no intervalo. Entretanto, não há a garantia de redução do erro por fator a cada iteração como na bissecção; em alguns casos a convergência pode ficar lenta (um extremo pode permanecer fixo por muitas iterações). Existem variantes que corrigem esse estancamento (por exemplo, métodos de Illinois e Pegasus), mas a fórmula base é a que deduzimos acima.
Passo 7
Exemplo numérico passo a passo (para fixar a ideia): quero a raiz de
em
.
- Valores iniciais:
, , , . - Calculo
pela fórmula:
- Avalio
. Como é negativo, substituo . Novo intervalo . - Segunda iteração:
, , , .
- Avalio
. Continua convergindo para . Esse exemplo mostra a iteração numérica e que o método aproxime a raiz usando a interseção da reta.
Passo 8
Resumo do algoritmo (passos para implementar numa prova ou num código):
- Dado
com e tolerância . - Enquanto
e : - Calcule
- Se
então senão .
- Retorne
como aproximação da raiz.
Observação final: a dedução essencial é a de queé a raiz da reta que interpola e , o que leva diretamente à fórmula .
Resposta
Iteração: calcule