(20%) Deduzir o método da bissecção ponderada.

Passo 1

O enunciado pede que eu deduza o método da bissecção ponderada.
Dados fornecidos (hipóteses necessárias para aplicar o método):
  • Uma função contínua f definida em um intervalo [a,b].
  • Os extremos do intervalo têm sinais opostos: f(a)\cdot f(b)<0.
    O que se pede:
  • Deduzir (ou seja, obter) a fórmula do ponto candidato c interior a [a,b] que define a “bissecção ponderada” e explicar o procedimento iterativo para aproximar a raiz.
    Observação: não começo a resolver aqui — apenas listei o que o problema dá e o que ele pede.

Passo 2

Ideia inicial e modelagem simples: em vez de tomar o ponto médio simples \dfrac{a+b}{2}, vamos escolher um ponto interior c que seja uma média ponderada de a e b. Escrevo isso como
c=\frac{w\,a + b}{w+1},
onde w>0 é um peso que ainda vamos determinar. Aqui w mede “quanto peso” damos ao extremo a em relação a b.
Motivação para escolher o peso a partir dos valores de f: se a função é aproximadamente linear entre a e b, a interseção da reta que passa por (a,f(a)) e (b,f(b)) com o eixo x é um bom palpite para a raiz. Vou deduzir c resolvendo a reta entre os pontos pelo zero.

Passo 3

Equação da reta que passa por (a,f(a)) e (b,f(b)): a forma ponto-inclinação dá, para x entre a e b,
y = f(a) + \frac{f(b)-f(a)}{b-a}\,(x-a).
Para achar a interseção com o eixo x faço y=0. Assim
0 = f(a) + \frac{f(b)-f(a)}{b-a}\,(c-a).
Agora isolo c. Multiplico ambos os lados por b-a:
0 = f(a)(b-a) + (f(b)-f(a))(c-a).
Expando:
0 = f(a)b - f(a)a + f(b)c - f(b)a - f(a)c + f(a)a.
Alguns termos cancelam ( -f(a)a e +f(a)a), sobrando
0 = f(a)b + f(b)c - f(b)a - f(a)c.
Reagrupo os termos em c e os demais:
f(b)c - f(a)c = f(b)a - f(a)b.
Fatorando c:
c\bigl(f(b)-f(a)\bigr) = f(b)a - f(a)b.
Finalmente:
\boxed{ \; c = \dfrac{a\,f(b) - b\,f(a)}{\,f(b)-f(a)\,} \; }.
Essa é a fórmula do ponto obtido pela interpolação linear entre (a,f(a)) e (b,f(b)).

Passo 4

Interpretação como média ponderada: quero mostrar que essa expressão é uma média ponderada de a e b. Reescrevo c assim:
c = \frac{a\,f(b) - b\,f(a)}{f(b)-f(a)}.
Como f(a) e f(b) têm sinais opostos, suponha por exemplo f(a)<0 e f(b)>0. Defino w=\dfrac{f(b)}{-f(a)}>0. Substituindo f(b)=w(-f(a)) ou reorganizando a expressão, obtém-se
c = \frac{w\,a + b}{w+1}.
Portanto c é de fato uma média ponderada entre a e b, com o peso em a proporcional a f(b) e o peso em b proporcional a -f(a). Intuição: quanto maior |f(a)| em relação a |f(b)|, mais o ponto c será deslocado em direção a a, e vice-versa.

Passo 5

Critério para atualizar o intervalo (manutenção do bracket): como em bissecção clássica, escolho o novo intervalo [a,b] de forma que os extremos continuem com sinais opostos, garantindo que a raiz esteja sempre contida. O procedimento é:
  • Calculo c pela fórmula
c = \frac{a\,f(b) - b\,f(a)}{f(b)-f(a)}.
  • Avalio f\text{(c)}.
  • Se f(a)\cdot f\text{(c)} < 0 então a raiz está em [a,c], tomo b \leftarrow c.
  • Caso contrário (portanto f\text{(c)}\cdot f(b)<0) tomo a \leftarrow c.
    Esse processo mantém sempre f(a)\cdot f(b)<0 e a raiz dentro do intervalo atualizado.

Passo 6

Critério de parada e observações práticas:
  • Critério em valores: paro se |f\text{(c)}|<\text{tol} (erro em função) ou se |b-a|<\text{tol} (tamanho do intervalo pequeno). Escolha de \text{tol} depende da precisão desejada.
  • Complexidade e convergência: este método (também conhecido como método da falsa posição, ou em português “falsa posição”) usa informação de inclinação local (interpolação linear) e geralmente converge mais rápido que a bissecção simples quando f é aproximadamente afim no intervalo. Entretanto, não há a garantia de redução do erro por fator 1/2 a cada iteração como na bissecção; em alguns casos a convergência pode ficar lenta (um extremo pode permanecer fixo por muitas iterações). Existem variantes que corrigem esse estancamento (por exemplo, métodos de Illinois e Pegasus), mas a fórmula base é a que deduzimos acima.

Passo 7

Exemplo numérico passo a passo (para fixar a ideia): quero a raiz de f(x)=x^2-2 em [1,2].
  • Valores iniciais: a=1, b=2, f(a)= -1, f(b)= 2.
  • Calculo c pela fórmula:
c=\frac{a\,f(b)-b\,f(a)}{f(b)-f(a)}=\frac{1\cdot 2 - 2\cdot(-1)}{2-(-1)}=\frac{2+2}{3}=\frac{4}{3}\approx 1,3333.
  • Avalio f\text{(c)}=\left(\dfrac{4}{3}\right)^2-2=\dfrac{16}{9}-2=\dfrac{-2}{9}\approx -0,2222. Como f\text{(c)} é negativo, substituo a\leftarrow c. Novo intervalo [4/3,2].
  • Segunda iteração: a=\dfrac{4}{3}, b=2, f(a)=-\dfrac{2}{9}, f(b)=2.
c=\frac{a\,f(b)-b\,f(a)}{f(b)-f(a)} =\frac{\tfrac{4}{3}\cdot 2 - 2\cdot\left(-\tfrac{2}{9}\right)}{2 - \left(-\tfrac{2}{9}\right)} =\frac{\tfrac{8}{3} + \tfrac{4}{9}}{\tfrac{20}{9}}=\frac{\tfrac{28}{9}}{\tfrac{20}{9}}=\frac{28}{20}=\frac{7}{5}=1,4.
  • Avalio f(1{,}4)=1{,}96-2=-0{,}04. Continua convergindo para \sqrt{2}. Esse exemplo mostra a iteração numérica e que o método aproxime a raiz usando a interseção da reta.

Passo 8

Resumo do algoritmo (passos para implementar numa prova ou num código):
  1. Dado [a,b] com f(a)\cdot f(b)<0 e tolerância \text{tol}.
  2. Enquanto |b-a|>\text{tol} e |f\text{(c)}|>\text{tol}:
    • Calcule
    c=\frac{a\,f(b)-b\,f(a)}{f(b)-f(a)}.
    • Se f(a)\cdot f\text{(c)}<0 então b\leftarrow c senão a\leftarrow c.
  3. Retorne c como aproximação da raiz.
    Observação final: a dedução essencial é a de que c é a raiz da reta que interpola (a,f(a)) e (b,f(b)), o que leva diretamente à fórmula \;c=\dfrac{a\,f(b)-b\,f(a)}{f(b)-f(a)}\;.

Resposta

c=\dfrac{a\,f(b)-b\,f(a)}{f(b)-f(a)} \n
Iteração: calcule c pela fórmula, avalie f\text{(c)}, substitua o extremo cujo valor tem mesmo sinal de f\text{(c)} por c (mantendo f(a)f(b)<0), repita até |f\text{(c)}|<\text{tol} ou |b-a|<\text{tol}.

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