Seja x=\frac{2057}{8}. Qual é a sua representação em diferentes bases numéricas?
(a) Base 2 (Binária),

Passo 1

O enunciado pede a representação em base 2 (binária) do número x=\frac{2057}{8}.
Informações dadas: \;x=\frac{2057}{8}.
Pergunta explícita: transformar esse número para a base 2.

Passo 2

Vamos primeiro escrever x como parte inteira + parte fracionária, realizando a divisão de 2057 por 8.
Calculando a divisão inteira: \;2057\div8=257 com resto 1.
Logo,
x=257+\frac{1}{8}.
Como número decimal isso é
x=257{,}125.

Passo 3

Agora convertemos a parte inteira \;257 para binário. Explico o método clássico de divisões sucessivas por 2: dividir por 2 e anotar o resto; os restos, lidos de baixo para cima, dão os dígitos binários.
Fazendo as divisões:
\begin{aligned} 257\div2&=128\quad\text{resto }1,\\\\ 128\div2&=64\quad\text{resto }0,\\\\ 64\div2&=32\quad\text{resto }0,\\\\ 32\div2&=16\quad\text{resto }0,\\\\ 16\div2&=8\quad\text{resto }0,\\\\ 8\div2&=4\quad\text{resto }0,\\\\ 4\div2&=2\quad\text{resto }0,\\\\ 2\div2&=1\quad\text{resto }0,\\\\ 1\div2&=0\quad\text{resto }1. \end{aligned}
Lendo os restos de baixo para cima obtemos a representação binária da parte inteira:
257_{10} = 100000001_2.
(Observação rápida: isso bate com a observação de potência: 2^8=256, então 257=256+1 1 nas posições 2^8 e 2^0.)

Passo 4

Agora convertemos a parte fracionária \;\frac{1}{8} para binário. O método é multiplicar a parte fracionária por 2 repetidas vezes; a parte inteira do produto é o próximo dígito binário até a parte fracionária se tornar zero ou até atingirmos precisão desejada.
Começando com \;f=\frac{1}{8}=0{,}125:
\begin{aligned} 2\cdot 0{,}125 &= 0{,}25 \quad\Rightarrow\text{dígito }0,\\\\ 2\cdot 0{,}25 &= 0{,}5 \quad\Rightarrow\text{dígito }0,\\\\ 2\cdot 0{,}5 &= 1{,}0 \quad\Rightarrow\text{dígito }1\\ \text{e termina}. \end{aligned}ííí
Portanto a parte fracionária em binário é .001_2. (Também é imediato ver que \frac{1}{8}=2^{-3} corresponde a 0{,}001_2.)

Passo 5

Juntando parte inteira e fracionária temos a representação completa em base 2:
x = 100000001{,}001_2.
Para checar: essa escrita significa
2^8 + 2^0 + 2^{-3} = 256 + 1 + \frac{1}{8} = 257 + \frac{1}{8} = \frac{2057}{8},
que confirma que está correta.

Passo 6

Recapitulando de forma prática para a prova: transforme em parte inteira e fração; converta a parte inteira por divisões sucessivas por 2 (ou reconhecendo potências de 2); converta a fração multiplicando por 2 repetidamente. No caso deste número os resultados foram simples porque 257 é 2^8+1 e a fração é 2^{-3}. Força aí — você já tem o passo-a-passo que precisa repetir em qualquer outro número!

Resposta

(100000001{,}001)_2

Exercícios relacionados