Se 2^2008-2^2007-2^2006+2^2005=k cdot 2^2005, o valor de k é?

Passo 1

Resumo da questão: a gente precisa achar um número 2^2008 ;-; 2^2007 ;-; 2^2006 ;+; 2^2005 ;=; k cdot 2^2005 tal que
a^m = a^n cdot a^m-n
Conteúdo: propriedades de potências (leis dos expoentes) e fatoração de termo comum. Para resolver, vamos usar a regra
e, na prática, “colocar em evidência” o menor expoente .

Passo 2

Identificar o menor expoente que aparece: 2^2008 - 2^2007 - 2^2006 + 2^2005 = 2^2005l(2^2008-2005 ;-; 2^2007-2005 ;-; 2^2006-2005 ;+; 2^2005-2005r) . A gente vai “fatorar” esse termo em toda a expressão. Ou seja:
Aqui usei a lei , então em cada termo sobra uma potência de diferença de expoentes.

Passo 3

Calcular cada potência que sobrou no parênteses:
  • 2^2005l(8 - 4 - 2 + 1r)
Então a expressão fica:

Passo 4

Fazer as contas dentro do parênteses:
8 - 4 = 4, 4 - 2 = 2, 2 + 1 = 3
Logo dá .

Passo 5

Comparando com 2^2005 times 3 , vemos que tudo se resumiu a
Ou seja, .

Resposta

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