Determine a solução real da equação:
[
5{x+2}+5{x-1}+5{x+1}+5{x}=780

Passo 1

Beleza, o problema pede pra achar o valor de 5^x+2 ;+; 5^x-1 ;+; 5^x+1 ;+; 5^x ;=; 780 nessa equação:
a^b+c = a^b cdot a^c
Conteúdo da matéria: funções exponenciais e propriedades de potências (como fatorar um termo em evidência). Vamos precisar lembrar que
e que, se em uma soma de potências todas têm a mesma base, podemos “colocar em evidência” a menor potência.

Passo 2

Primeiro, identificamos qual é a menor potência entre . É . Então vamos escrever cada termo como produto de por alguma potência de 5:
  • já é (embora não precisemos lembrar do , só entender que é o “1”).

Passo 3

Agora a gente fatora 5^x+2+5^x-1+5^x+1+5^x =5^x-1l(5^3 + 5^0 + 5^2 + 5^1r) em evidência:
5^x-1l(5^3 + 1 + 5^2 + 5r) = 780
Então a equação vira
5^3 =125, 5^2=25, 5^1=5, 5^0=1,
Calculemos o que tá dentro do parênteses:
125 + 1 + 25 + 5 = 156
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5^x-1;cdot;156 ;=;780
Ficamos com

Passo 4

Agora basta isolar 5^x-1 = 780156 = 5 :
x - 1 = 1 Longrightarrow x = 2
E, como , pelas propriedades de exponencial (mesma base → expoentes iguais), temos

Resposta

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