9.21 A experiência tem demonstrado que 40 % dos estudantes sāo reprovados nos exames de estatística. Se 40 de 90 estudantes fossem reprovados, poderiamos concluir que esses estudantes sä̉o Inferiores em estatistica? Admitir alpha=5 %.

Passo 1

Beleza, o enunciado diz que, por experiência, 40 % dos estudantes são reprovados em estatística. Agora, numa turma de 90 alunos, 40 foram reprovados. Queremos saber, ao nível de significância de 5 %, se essa turma é “pior” (isto é, se a taxa de reprovação é maior que 40 %).
Conteúdo: teste de hipótese para proporção usando aproximação normal. Vamos precisar de:
  • Definir hipótese nula e alternativa.
  • Calcular a proporção amostral.
  • Calcular o desvio‐padrão sob H₀.
  • Calcular a estatística‐teste z e comparar com o valor crítico.

Passo 2

Definindo as hipóteses:
H₀: p = 0,4 (a taxa real de reprovação é 40 %)
H₁: p > 0,4 (a turma é pior, tem taxa de reprovação maior)
Como a alternativa é “maior”, é um teste à direita.

Passo 3

Calcular a proporção amostral hat p:
hat p = número de reprovadostamanho da amostra = 4090 approx 0,4444 ú
Ou seja, a turma teve cerca de 44,44 % de reprovação.

Passo 4

Sob a hipótese nula, p0 = 0,4, o desvio‐padrão da proporção é
sigmahat p = raizp0,(1 - p0)n = raiz0,4 times 0,690 approx 0,0516
Isso vem da distribuição aproximada normal de hat p.

Passo 5

Agora a estatística‐teste z é
z = hat p - p0sigmahat p = 0,4444 - 0,40,0516 approx 0,860

Passo 6

Como é teste à direita e alpha = 0,05, o valor crítico é
z0,95 approx 1,645
Para rejeitar H₀ precisaríamos de z >= 1,645.

Passo 7

Nosso z approx 0,860 é bem menor que 1,645. Logo, não rejeitamos H₀. Isso significa que não temos evidência suficiente, a 5 %, para dizer que a turma é pior (ou seja, que a taxa real de reprovação excede 40 %).

Resposta

Não rejeitamos a hipótese de que p = 0,4. Não há evidência ao nível de 5 % de que esses estudantes sejam inferiores em estatística.

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