Considere o seguinte sistema de equações lineares:
Caso haja convergência garantida, resolva o sistema dado pelo método iterativo de Gauss-Seidel com x^(0)=(x1^(0), x2^(0), x3^(0))^t=(0.1,0.2,0.5)^t e varepsilon=0.01.
Passo 1
Beleza, o enunciado pede para a gente resolver um sistema 3×3 com o método iterativo de Gauss–Seidel. A matriz e o vetor de termos independentes são
A = -9 & 5 & 6 2 & 3 & 1 -1 & 1 & -3 , b = 114-2,
o chute inicial é
e a tolerância é .
Para usar Gauss–Seidel e ter certeza de que vai convergir, a gente normalmente confere se a matriz é estritamente diagonalmente dominante (isto é, em cada linha, o módulo do elemento da diagonal é maior que a soma dos módulos dos outros elementos dessa linha).
Passo 2
Vamos aplicar o critério de diagonal dominante por linhas. Para cada linha |aii| ;vs;sumjne i|aij| calculamos
Linha 1:
contra . Como , não domina.
Linha 2:
contra . Aqui , não é estritamente maior.
Linha 3:
contra . Aqui , domina.
Para garantir convergência com Gauss–Seidel, a matriz precisa ser estritamente diagonal dominante em todas as linhas. Mas aqui só a linha 3 satisfaz isso; as linhas 1 e 2 não.
Resposta
Não há convergência garantida pelo critério de diagonal dominante, logo não podemos assegurar que o método de Gauss–Seidel com esses dados vá convergir dentro da tolerância pedida.