(25 Pontos) Considere o seguinte conjunto de dados da seguinte função k(s)=k_{0} s^{n}
s 0,2 0,5 0,8 1,0
k(s) 0,032 0,20 0,512 0,80
onde k_{0} e n sĩo parâmetros da funçào. Realize um ajuste por mínimos quadrados e determine os valores destes coeficientes. Para tanto, realize os seguintes passos:
(a) linearize o modelo k(s) de modo a possibilitar o ajuste de uma funçāo linear em seus coeficientes;
(b) construa o sistema de equaçōes normais correspondente ao método dos mínimos quadrados:
(c) resolva o sistema de equações obtido;
(d) determine os parámetros k_{0} e n a partir da soluçāo.

Passo 1

O enunciado dá os pontos
(s_i,\;k_i):\;(0,2,\;0,032),\;(0,5,\;0,20),\;(0,8,\;0,512),\;(1,0,\;0,80)
e pede ajustar por mínimos quadrados o modelo
k(s)=k_{0}\,s^{n},
determinar k_{0} e n. O conteúdo é regressão linear após linearizar com logaritmo.

Passo 2

Linearizamos tomando logaritmo natural em ambos os lados:
\ln k(s)=\ln k_{0}+n\,\ln s.
Definimos
x_i=\ln s_i,\quad y_i=\ln k_i,\quad a=\ln k_{0},
ficando o modelo linear
y_i = a + n\,x_i.

Passo 3

Calculamos x_i, y_i e os somatórios necessários N=4:
\begin{aligned} x_1&=\ln(0,2)\approx -1,6094,&y_1&=\ln(0,032)\approx -3,4420,\\\ x_2&=\ln(0,5)\approx -0,6931,&y_2&=\ln(0,20)\approx -1,6094,\\\ x_3&=\ln(0,8)\approx -0,2231,&y_3&=\ln(0,512)\approx -0,6694,\\\ x_4&=\ln(1,0)=0,&y_4&=\ln(0,80)\approx -0,2231. \end{aligned}
\Sigma x = -2,5256,\quad \Sigma y = -5,9439,\quad \Sigma x^2 = 3,1207,\quad \Sigma x\,y = 6,8075.

Passo 4

As equações normais do método dos mínimos quadrados são
\begin{cases} N\,a + (\Sigma x)\,n = \Sigma y,\\\ (\Sigma x)\,a + (\Sigma x^2)\,n = \Sigma x\,y. \end{cases}
Substituindo os valores:
\begin{cases} 4\,a -2,5256\,n = -5,9439,\\\\ -2,5256\,a +3,1207\,n = 6,8075. \end{cases}
Resolvendo esse sistema obtém-se
n \approx 2{,}00,\quad a \approx -0{,}2215.

Passo 5

Voltando à escala original, a=\ln k_{0} implica
k_{0} = e^{\,a} \approx e^{-0,2215} \approx 0{,}80.

Resposta

k_{0}\approx0{,}80,\quad n\approx2{,}00.

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