(25 Pontos) Determine a funçāo linear g(x)=c_{0}+c_{1} x que melhor se ajusta à funçāo f(x)=\frac{c^{2}}{x} no intervalo [1,2] no sentido dos mínimos quadrados. Utilize a quadratura de Gauss com dois pontos para calcular as integrais associadas aos termos do lado direito do sistema de equaçües normais.

Passo 1

O enunciado pede a aproximação em mínimos quadrados da função
f(x)=\frac{c^2}{x}
no intervalo [1,2] por um polinômio linear
g(x)=c_{0}+c_{1}\,x.
Para isso, vamos montar as equações normais
\int_{1}^{2}\bigl(g(x)-f(x)\bigr)\,x^{k}\,dx=0,\quad k=0,1,
e calcular as integrais que aparecem no lado direito por quadratura de Gauss de dois pontos.

Passo 2

Escrevendo as equações normais temos
\int_{1}^{2}\bigl(c_{0}+c_{1}x-\tfrac{c^2}{x}\bigr)\,dx=0, \quad \int_{1}^{2}\bigl(c_{0}+c_{1}x-\tfrac{c^2}{x}\bigr)\,x\,dx=0.
Isso leva ao sistema
c_{0}\,\underbrace{\int_{1}^{2}1\,dx}_{I_{0}} + c_{1}\,\underbrace{\int_{1}^{2}x\,dx}_{I_{1}} = \underbrace{\int_{1}^{2}\frac{c^2}{x}\,dx}_{J_{0}},
c_{0}\,I_{1} + c_{1}\,\underbrace{\int_{1}^{2}x^{2}\,dx}_{I_{2}} = \underbrace{\int_{1}^{2}c^2\,dx}_{J_{1}}.
Sabemos exatamente
I_{0}=1,\quad I_{1}=\tfrac{3}{2},\quad I_{2}=\tfrac{7}{3},
e vamos aproximar J_{0} e J_{1} por Gauss de 2 pontos.

Passo 3

Na quadratura de Gauss com 2 pontos em [1,2] usamos nós
t_{1}=-\frac{1}{\sqrt3},\quad t_{2}=+\frac{1}{\sqrt3},
mapeados em
x_{i}=\tfrac{1+2}{2}+\tfrac{2-1}{2}\,t_{i}=1{,}5+\tfrac{1}{2}t_{i}.
Os pesos são w_{1}=w_{2}=1 e, para qualquer função h(x),
\int_{1}^{2}h(x)\,dx\approx\tfrac{2-1}{2}\sum_{i=1}^{2}w_{i}\,h(x_{i}) =\tfrac12\bigl(h(x_{1})+h(x_{2})\bigr).

Passo 4

Calculamos primeiro os nós numéricos:
x_{1}=1{,}5-\tfrac{1}{2\sqrt3}\approx1{,}211325,\quad x_{2}=1{,}5+\tfrac{1}{2\sqrt3}\approx1{,}788675.
Então
J_{0}=\int_{1}^{2}\frac{c^2}{x}\,dx \approx\tfrac12\Bigl(\tfrac{c^2}{x_{1}}+\tfrac{c^2}{x_{2}}\Bigr) =c^2\;\tfrac12\Bigl(\tfrac1{x_{1}}+\tfrac1{x_{2}}\Bigr) \approx0{,}692\,c^2,
J_{1}=\int_{1}^{2}c^2\,dx \approx\tfrac12\bigl(c^2+c^2\bigr)=c^2.

Passo 5

Substituindo em
\begin{cases} c_{0}\cdot1 + c_{1}\cdot\tfrac32 = 0{,}692\,c^2,\\\ c_{0}\cdot\tfrac32 + c_{1}\cdot\tfrac{7}{3} = c^2, \end{cases}
resolvemos para c_{0} e c_{1}. Fazendo eliminação dá
c_{1}\approx -0{,}456\,c^2, \quad c_{0}\approx1{,}376\,c^2.

Resposta

g(x)=c_{0}+c_{1}\,x \approx1{,}376\,c^2 \;-\;0{,}456\,c^2\,x.

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