(30 Pontos) A velocidade instantânea de um foguete lançado foi registrada em diversos instantes de tempo, conforme reportado na seguinte tabela:
t 2 3 4 5
v(t) 1,38 3,30 5,55 8,05
(a) Calcule uma aproximação para a distância total percorrida d=\int_{2}^{5} v(t) d t utilizando a combinação da regra de Simpson 1 / 3 e da regra do trapézio.
(b) Supondo que a funçio da velocidade seja v(t)=t \ln (t), calcule qual o espaçamento h deve ser usado para se obter um erro menor do que \varepsilon=10^{-6} se a regra do trapézio repetida fix utilizada para aproximar a integral. Lembre-se que a expressio para o limitante superior do erro neste caso é
\left|E_{T}^{H}\right| \leq M_{2} \frac{(b-a) h^{2}}{12}, \text { onde } M_{2}=\max _{a \leq 1 \leq b}\left|f^{\prime \prime}(t)\right| \text {. }

Passo 1

O enunciado apresenta a velocidade de um foguete em instantes discretos
\begin{array}{c|cccc} t & 2 & 3 & 4 & 5 \\hline v(t)&1,38&3,30&5,55&8,05 \end{array}
e pede:
(a) aproximar
d=\int_{2}^{5}v(t)\,dt
usando combinação da regra de Simpson 1/3 e da regra do trapézio;
(b) para v(t)=t\ln(t), determinar o passo h necessário na regra do trapézio composta para ter erro \le10^{-6}, sabendo que
\bigl|E_{T}^{H}\bigr|\le M_{2}\,\frac{(b-a)\,h^{2}}{12}, \quad M_{2}=\max_{2\le t\le5}\bigl|f''(t)\bigr|.

Passo 2

Aplicamos Simpson 1/3 em [2,4] com h=1 e m=2 subintervalos:
\int_{2}^{4}v(t)\,dt\approx \frac{h}{3}\bigl[v(2)+4\,v(3)+v(4)\bigr] =\frac{1}{3}\bigl[1,38+4\cdot3,30+5,55\bigr] =\frac{1}{3}\,(20,13) =6,71.

Passo 3

Em seguida usamos a regra do trapézio em [4,5]:
\int_{4}^{5}v(t)\,dt\approx \frac{5-4}{2}\bigl[v(4)+v(5)\bigr] =\tfrac{1}{2}\,(5,55+8,05) =6,80.

Passo 4

Somando as duas parcelas, obtemos a aproximação total
\int_{2}^{5}v(t)\,dt \approx 6,71 + 6,80 = 13,51.

Passo 5

Para (b), seja f(t)=t\ln(t). Calculamos
f'(t)=\ln(t)+1,\quad f''(t)=\frac{1}{t}.
No intervalo [2,5], f''(t) é decrescente em t, logo
M_{2}=\max_{2\le t\le5}\bigl|f''(t)\bigr| =f''(2)=\tfrac{1}{2}.

Passo 6

O limite do erro na regra do trapézio composta é
\bigl|E_{T}^{H}\bigr|\le M_{2}\,\frac{(b-a)\,h^{2}}{12} =\frac{1/2\cdot(5-2)\,h^{2}}{12} =\frac{3\,h^{2}}{24} =\frac{h^{2}}{8}.
Queremos \tfrac{h^{2}}{8}\le10^{-6}, ou seja
h^{2}\le 8\times10^{-6}, \quad h\le\sqrt{8\times10^{-6}} \approx2{,}83\times10^{-3}.

Resposta

(a) d\approx13,51.
(b) Deve-se usar h\le2{,}83\times10^{-3} para garantir erro abaixo de 10^{-6}.

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