Determinar, pelo método dos mínimos quadrados, a reta mais próxima dos pontos ( x_{i}, y_{i} ) para a função y=f(x) dada pela tabela:
x -2 -1 0 1 2
y 0 0 -1 0 7

Passo 1

O enunciado pede para ajustar uma reta y = a + b x aos pontos (x_{i},y_{i}) = (-2,0),(-1,0),(0,-1),(1,0),(2,7) pelo método dos mínimos quadrados. O conteúdo é regressão linear simples, e vamos usar as equações normais que envolvem as somas dos x_i, y_i, x_i^2 e x_i y_i.

Passo 2

As equações normais para determinar a\) e \(b\) são \[\begin{cases} n\,a + \bigl(\sum x_i\bigr)\,b = \sum y_i,\\\ \bigl(\sum x_i\bigr)\,a + \bigl(\sum x_i^2\bigr)\,b = \sum x_i\,y_i, \end{cases}
onde (n=5] é o número de pontos.

Passo 3

Calculamos as somas:
\sum x_i = -2 + (-1) + 0 + 1 + 2 = 0,
\sum y_i = 0 + 0 + (-1) + 0 + 7 = 6,
\sum x_i^2 = (-2)^2 + (-1)^2 + 0^2 + 1^2 + 2^2 = 4 + 1 + 0 + 1 + 4 = 10,
\sum x_i\,y_i = (-2)\cdot0 + (-1)\cdot0 + 0\cdot(-1) + 1\cdot0 + 2\cdot7 = 14.

Passo 4

Substituindo nas normais:
5a + 0\cdot b = 6 \quad\Longrightarrow\quad a = \frac{6}{5},
0\cdot a + 10\,b = 14 \quad\Longrightarrow\quad b = \frac{14}{10} = \frac{7}{5}.

Resposta

A reta de mínimos quadrados é
y = \frac{6}{5} + \frac{7}{5}\,x.

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