( 25 pontos) No crescimento de microrganismos, as condições de ambiente são descontínuas, e essas modificações têm uma influência considerável sobre 'a população. O desenvolvimento da população possui 4 fases, ou seja, Fase de “lag”: Nesta fase os microrganismos não revelam um aumento de número em determinações de massa e geralmente demonstrám que há um aumento. Fase de crescimento: Os microrganismos se encontram na plenitude de suas capacidades, num meio cujo suprimentos de nutrientes é superior às necessidades. Fase estacionária: A velocidade de crescimento dos microrganismos vai diminuindo até atingir a fase em que o número de novos microrganismos é igual ao número de microrganismos que morre. Fase de declínio: A quantidade de microrganismos que morre torna-se progressivamente superior àquela dos que surgem.
A fase de declínio de uma cultura pode ser modelada através de modelos matemáticos, que têm a vantagem de prover a previsibilidade do tamanho da população. Um modelo do tamanho da população em função do tempo t (em dias) nesta fase pode ser dada por:
f(t)=-t * \log (t)+1 \quad I=[1,2]
Com este modelo, é possivel determinar o tempo em que a população pode ser dizimada, ou seja, f(t)=0. Responda:
a) Considerando que os experimentos em laboratório mostram que a população geralmente é dizimada entre 1 e 2 dias, qual seria o Método Numérico mais adequado (dentro do contexto desta prova) para encontrar o tempo exato em que a população de microrganismos é totalmente dizimada, com precisão de \underline{0.6} de confiabilidade no resultado? Justifique a sua escolha de metodologia numérica.
b) Execute o método escolhido por você para realizar esta estimativa para o tempo t em que a população é dizimada.
Passo 1
O que o enunciado pede:
Encontrar o tempo t (em dias) em que a população é dizimada, ou seja, resolver a equação
f(t)=0
para a função dada em [1,2]:
f(t)=-t\log(t)+1.
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
O domínio de interesse é [1,2].
Os experimentos indicam que a raiz (tempo em que f(t)=0) está entre 1 e 2.
A função é f(t)=-t\log(t)+1 definida para t>0.
O objetivo concreto: (a) escolher o método numérico mais adequado (com justificativa) e (b) executar esse método para estimar o t tal que f(t)=0.
Passo 2
Escolha do método (resposta da parte a) com justificativa):
Vou usar o método de Newton–Raphson (método de Newton). Justifico:
A função f é diferenciável em [1,2] (pois envolve \log(t) que é diferenciável para t>0).
Calculando a derivada veremos que f'(t) não é zero em [1,2] e tem sinal fixo (isto eu detalho no próximo passo). Isso garante que a função é monotônica no intervalo e que há exatamente uma raiz no intervalo.
Newton–Raphson tem convergência quadrática quando iniciado razoavelmente perto da raiz; aqui podemos escolher uma boa aproximação inicial (por exemplo o ponto médio 1{,}75) e obteremos o resultado em poucas iterações.
Alternativa: o método da bissecção também funcionaria e é mais robusto (garante convergência apenas com o fato de existir um sinal distinto nas extremidades). Contudo, bissecção converge linearmente e exige muitas iterações para alta precisão. No contexto desta prova, Newton é mais eficiente e apropriado porque temos derivada simples e função bem-comportada no intervalo.
Observação sobre a precisão pedida: o enunciado fala em “precisão de \underline{0.6} de confiabilidade”. Como não dá para interpretar isso de forma matemática usual sem perguntar, eu adoto um critério pragmático e comum: vou parar quando a diferença entre duas iterações sucessivas for menor que 10^{-6} (tolerância razoável para uma raiz numérica). Esse critério dá uma solução com pelo menos seis casas decimais estáveis.
Passo 3
Como funciona o método de Newton (aula rápida e didática):
Queremos resolver \;f(t)=0.
O método de Newton constrói uma sequência \{t_n\} por:
t_{n+1}=t_n-\frac{f(t_n)}{f'(t_n)}.
Interpretação geométrica simples: em cada passo aproximamos f por sua reta tangente em t_n e tomamos a interseção dessa reta com o eixo t como nova aproximação.
Critérios de parada práticos (vou usar ambos): parar quando |t_{n+1}-t_n|<10^{-6} ou quando |f(t_{n+1})|<10^{-12} (um critério sobre o valor da função).
Vantagens: convergência rápida (quadrática) quando f'(t) não é zero e a aproximação inicial é razoável.
Desvantagem: se f'(t_n) for muito pequeno ou zero, pode falhar; por isso antes verificamos o sinal/valor de f' no intervalo.