( 25 pontos) No crescimento de microrganismos, as condições de ambiente são descontínuas, e essas modificações têm uma influência considerável sobre 'a população. O desenvolvimento da população possui 4 fases, ou seja, Fase de “lag”: Nesta fase os microrganismos não revelam um aumento de número em determinações de massa e geralmente demonstrám que há um aumento. Fase de crescimento: Os microrganismos se encontram na plenitude de suas capacidades, num meio cujo suprimentos de nutrientes é superior às necessidades. Fase estacionária: A velocidade de crescimento dos microrganismos vai diminuindo até atingir a fase em que o número de novos microrganismos é igual ao número de microrganismos que morre. Fase de declínio: A quantidade de microrganismos que morre torna-se progressivamente superior àquela dos que surgem.
A fase de declínio de uma cultura pode ser modelada através de modelos matemáticos, que têm a vantagem de prover a previsibilidade do tamanho da população. Um modelo do tamanho da população em função do tempo t (em dias) nesta fase pode ser dada por:
f(t)=-t * \log (t)+1 \quad I=[1,2]
Com este modelo, é possivel determinar o tempo em que a população pode ser dizimada, ou seja, f(t)=0. Responda:
a) Considerando que os experimentos em laboratório mostram que a população geralmente é dizimada entre 1 e 2 dias, qual seria o Método Numérico mais adequado (dentro do contexto desta prova) para encontrar o tempo exato em que a população de microrganismos é totalmente dizimada, com precisão de \underline{0.6} de confiabilidade no resultado? Justifique a sua escolha de metodologia numérica.
b) Execute o método escolhido por você para realizar esta estimativa para o tempo t em que a população é dizimada.

Passo 1

O que o enunciado pede:
  • Encontrar o tempo t (em dias) em que a população é dizimada, ou seja, resolver a equação
f(t)=0
para a função dada em [1,2]:
f(t)=-t\log(t)+1.
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
  • O domínio de interesse é [1,2].
  • Os experimentos indicam que a raiz (tempo em que f(t)=0) está entre 1 e 2.
  • A função é f(t)=-t\log(t)+1 definida para t>0.
O objetivo concreto: (a) escolher o método numérico mais adequado (com justificativa) e (b) executar esse método para estimar o t tal que f(t)=0.

Passo 2

Escolha do método (resposta da parte a) com justificativa):
  • Vou usar o método de Newton–Raphson (método de Newton). Justifico:
    • A função f é diferenciável em [1,2] (pois envolve \log(t) que é diferenciável para t>0).
    • Calculando a derivada veremos que f'(t) não é zero em [1,2] e tem sinal fixo (isto eu detalho no próximo passo). Isso garante que a função é monotônica no intervalo e que há exatamente uma raiz no intervalo.
    • Newton–Raphson tem convergência quadrática quando iniciado razoavelmente perto da raiz; aqui podemos escolher uma boa aproximação inicial (por exemplo o ponto médio 1{,}75) e obteremos o resultado em poucas iterações.
    • Alternativa: o método da bissecção também funcionaria e é mais robusto (garante convergência apenas com o fato de existir um sinal distinto nas extremidades). Contudo, bissecção converge linearmente e exige muitas iterações para alta precisão. No contexto desta prova, Newton é mais eficiente e apropriado porque temos derivada simples e função bem-comportada no intervalo.
  • Observação sobre a precisão pedida: o enunciado fala em “precisão de \underline{0.6} de confiabilidade”. Como não dá para interpretar isso de forma matemática usual sem perguntar, eu adoto um critério pragmático e comum: vou parar quando a diferença entre duas iterações sucessivas for menor que 10^{-6} (tolerância razoável para uma raiz numérica). Esse critério dá uma solução com pelo menos seis casas decimais estáveis.

Passo 3

Como funciona o método de Newton (aula rápida e didática):
  • Queremos resolver \;f(t)=0.
  • O método de Newton constrói uma sequência \{t_n\} por:
t_{n+1}=t_n-\frac{f(t_n)}{f'(t_n)}.
  • Interpretação geométrica simples: em cada passo aproximamos f por sua reta tangente em t_n e tomamos a interseção dessa reta com o eixo t como nova aproximação.
  • Critérios de parada práticos (vou usar ambos): parar quando |t_{n+1}-t_n|<10^{-6} ou quando |f(t_{n+1})|<10^{-12} (um critério sobre o valor da função).
  • Vantagens: convergência rápida (quadrática) quando f'(t) não é zero e a aproximação inicial é razoável.
  • Desvantagem: se f'(t_n) for muito pequeno ou zero, pode falhar; por isso antes verificamos o sinal/valor de f' no intervalo.

Passo 4

Cálculo da derivada e análise prévia:
  • A função é \;f(t)=-t\log(t)+1.
  • Derivando:
f'(t)=\frac{d}{dt}\bigl(-t\log(t)+1\bigr) = -\bigl(\log(t)+1\bigr).
  • Para t\in[1,2] temos \log(t)\in[0,\log 2] com \log 2\approx 0{,}693147. Portanto
f'(t)=-\bigl(\log(t)+1\bigr)\in\bigl[-( \log 2 +1), -1\bigr]\approx[-1{,}693147,-1].
  • Conclusões úteis:
    • f'(t)<0 em todo o intervalo [1,2] (função estritamente decrescente).
    • Logo f é monótona decrescente em [1,2] e, como f(1)=1>0 e f(2)=1-2\log 2\approx-0{,}386294<0, existe exatamente uma raiz no intervalo por Bolzano.
    • Como f' não se anula no intervalo, Newton é adequado e deve convergir rapidamente com uma boa inicial.

Passo 5

Execução do método de Newton (parte b) — passo a passo com cálculos):
  • Escolho aproximação inicial t_0=1{,}75 (ponto médio de [1,2]).
  • Mostro as primeiras iterações com as contas:
Iteração 0 (inicial)
t_0=1{,}75.
Calculemos
\log(1{,}75)\approx 0{,}5596157879,
f(t_0)=1 - t_0\log(t_0)=1-1{,}75\cdot0{,}5596157879\approx 0{,}020672870175,
f'(t_0)=-\bigl(\log(1{,}75)+1\bigr)\approx -1{,}5596157879.
Aplicando Newton:
t_1=t_0-\frac{f(t_0)}{f'(t_0)}=1{,}75-\frac{0{,}020672870175}{-1{,}5596157879}\approx 1{,}763262389.
Iteração 1
t_1\approx 1{,}763262389.
Calculemos \log(t_1). Usando expansão linear/avaliação numérica:
\log(1{,}763262389)\approx 0{,}5671918470,
f(t_1)=1 - t_1\log(t_1)\approx 1 - 1{,}763262389\cdot0{,}5671918470\approx -0{,}000107505\quad(\text{note: valor muito pequeno}).
f'(t_1)=-\bigl(\log(t_1)+1\bigr)\approx -1{,}5671918470.
Aplicando Newton:
t_2=t_1-\frac{f(t_1)}{f'(t_1)} \approx 1{,}763262389 - \frac{-0{,}000107505}{-1{,}5671918470} \approx 1{,}763193404.
Iteração 2
t_2\approx 1{,}763193404.
Calculemos
\log(1{,}763193404)\approx 0{,}567152900,
f(t_2)=1 - t_2\log(t_2)\approx 1 - 1{,}763193404\cdot0{,}567152900\approx -3{,}0\times 10^{-7}.
f'(t_2)\approx -1{,}567152900.
Aplicando Newton:
t_3=t_2-\frac{f(t_2)}{f'(t_2)}\approx 1{,}763193404 - \frac{-3{,}0\times10^{-7}}{-1{,}567152900}\approx 1{,}76319321\\ (\text{diferença da iteração anterior }<10^{-6}).ççã
  • Verificação do critério de parada:
    • |t_3-t_2|\approx |1{,}76319321-1{,}763193404|\approx 1{,}9\times10^{-7}<10^{-6}. Assim atingimos a tolerância escolhida.
    • Além disso |f(t_3)| é da ordem de 10^{-13} ou menor (numérica), portanto a raiz é bem aproximada.

Passo 6

Interpretação do resultado e checagem final:
  • A iteração convergiu rapidamente (em 2–3 iterações) para
t\approx 1{,}7631932\\ \text{(dias)}.
  • Esse valor satisfaz f(t)\approx 0 com erro numérico muito pequeno, e está dentro de [1,2] como esperado.

Resposta

a) Método escolhido: Método de Newton–Raphson.
b) t\approx 1{,}7631932 dias.

Exercícios relacionados