Aplique o método da falsa posição para estimar o valor da raiz da equação
f(x)=x \log (x)-1
Para isso, utilize duas iterações do método, truncamento com t=3 e intervalo inicial [2,3].

Passo 1

O enunciado pede que eu aplique o método da falsa posição para estimar a raiz da função
f(x)=x\log(x)-1
usando exatamente duas iterações, truncamento com t=3 casas decimais e intervalo inicial [2,3]. Dados fornecidos e decisões necessárias:
  • Função: \;f(x)=x\log(x)-1.
  • Intervalo inicial: \;[2,3].
  • Número de iterações: \;2.
  • Truncamento: \;t=3 (vou truncar todos os valores numéricos intermediários a 3 casas decimais antes de usá-los nos cálculos seguintes).
  • Método exigido: método da falsa posição (regula falsi).
  • Observação importante: para que o intervalo [2,3] contenha uma raiz, é necessário que f(2) e f(3) tenham sinais opostos. Para que isso ocorra com os valores usualmente esperados neste exercício, assumirei que \log significa \log_{10} (logaritmo decimal). Se a intenção fosse \log natural, [2,3] não teria mudança de sinal.

Passo 2

O que é o método da falsa posição e a fórmula que vamos usar:
  • O método da falsa posição parte de um intervalo [a,b] com f(a) e f(b) de sinais opostos. Ele usa a reta secante que une os pontos (a,f(a)) e (b,f(b)) e toma a interseção dessa reta com o eixo x como nova aproximação da raiz.
  • A fórmula da abscissa da interseção é
c=\frac{a\,f(b)-b\,f(a)}{f(b)-f(a)}.
  • Interpretação de cada símbolo:
    • a e b são os extremos do intervalo atual.
    • f(a) e f(b) são os valores da função nesses extremos.
    • c é a nova aproximação obtida pela falsa posição.
  • Critério de atualização do intervalo:
    • Se f(a)\cdot f\text{(c)}<0 então a nova raiz está em [a,c] (mantém b).
    • Se f\text{(c)}\cdot f(b)<0 então a nova raiz está em [c,b] (mantém a).
    • Se f\text{(c)}=0 então c é a raiz exata.
  • Regra de truncamento usada aqui: após cada operação relevante (valores de \log, produtos, somas, divisões) eu truncarei o resultado a 3 casas decimais e usarei esse valor truncado nos passos seguintes.

Passo 3

Calcular f(2) com \log=\log_{10} e truncando a 3 casas decimais:
  • Primeiro \log_{10}(2). Valor real \approx 0{,}3010299\ldots. Truncando a 3 casas decimais:
\log_{10}(2)\approx 0{,}301.
  • Agora \;f(2)=2\cdot\log_{10}(2)-1. Usando o \log_{10}(2) truncado:
f(2)\approx 2\cdot 0{,}301 - 1 = 0{,}602 - 1 = -0{,}398.
Truncando (já com 3 decimais): \;f(2)=-0{,}398.

Passo 4

Calcular f(3) com truncamento a 3 casas:
  • \log_{10}(3) valor real \approx 0{,}4771212\ldots. Truncando a 3 casas:
\log_{10}(3)\approx 0{,}477.
  • Agora \;f(3)=3\cdot\log_{10}(3)-1. Usando o valor truncado:
f(3)\approx 3\cdot 0{,}477 - 1 = 1{,}431 - 1 = 0{,}431.
Truncando: \;f(3)=0{,}431.
Observação: temos f(2)=-0{,}398 e f(3)=0{,}431, sinais opostos — ótimo, podemos aplicar falsa posição em [2,3].

Passo 5

Primeira iteração: calcular c_1 pela fórmula da falsa posição usando a=2, b=3, f(2)=-0{,}398, f(3)=0{,}431. Aplicando a fórmula
c_1=\frac{a\,f(b)-b\,f(a)}{f(b)-f(a)}=\frac{2\cdot(0{,}431)-3\cdot(-0{,}398)}{0{,}431-(-0{,}398)}.
Calculemos passo a passo (truncando resultados importantes a 3 casas):
  • Numerador: 2\cdot 0{,}431 = 0{,}862,
3\cdot(-0{,}398) = -1{,}194,
\text{numerador} = 0{,}862 - (-1{,}194) = 0{,}862 + 1{,}194 = 2{,}056.
(Truncado a 3 casas: 2{,}056.)
  • Denominador: 0{,}431 - (-0{,}398) = 0{,}431 + 0{,}398 = 0{,}829.(Truncado a 3 casas: 0{,}829.)
  • Agora a divisão: c_1 \approx \frac{2{,}056}{0{,}829} \approx 2{,}478096\ldotsTruncando a 3 casas: \;c_1=2{,}478.

Passo 6

Avaliar f(c_1) para decidir o novo intervalo. Primeiro calculamos \log_{10}(2{,}478) e truncamos:
  • Aproximação (cálculo aproximado e truncado): \log_{10}(2{,}478)\approx 0{,}394305\ldots. Truncando a 3 casas:
\log_{10}(2{,}478)\approx 0{,}394.
  • Agora f(2{,}478)=2{,}478\cdot 0{,}394 - 1. 2{,}478\cdot 0{,}394 = 0{,}976332.Truncando a 3 casas: 0{,}976. f(2{,}478)\approx 0{,}976 - 1 = -0{,}024.Truncando a 3 casas: \;f(2{,}478)=-0{,}023. (Note que o produto real deu 0{,}976332 e a diferença real deu -0{,}023668, truncando chega-se a -0{,}023.)
  • Sinal de f(2{,}478) é negativo e f(3) é positivo, então a raiz está no intervalo [2{,}478,3]. Atualizamos a \leftarrow 2{,}478, b \leftarrow 3.

Passo 7

Segunda iteração: com a=2{,}478, b=3, f(a)=-0{,}023, f(b)=0{,}431. Aplicando a fórmula
c_2=\frac{a\,f(b)-b\,f(a)}{f(b)-f(a)}=\frac{2{,}478\cdot(0{,}431)-3\cdot(-0{,}023)}{0{,}431-(-0{,}023)}.
Cálculos passo a passo (truncando a 3 casas onde indicado):
  • Produto 2{,}478\cdot 0{,}431: 2{,}478\cdot 0{,}431 = 1{,}068018.Truncado a 3 casas: 1{,}068.
  • Produto 3\cdot(-0{,}023) = -0{,}069.
  • Numerador: 1{,}068 - (-0{,}069) = 1{,}068 + 0{,}069 = 1{,}137.(Truncado a 3 casas: 1{,}137.)
  • Denominador: 0{,}431 - (-0{,}023) = 0{,}431 + 0{,}023 = 0{,}454.(Truncado: 0{,}454.)
  • Divisão: c_2 \approx \frac{1{,}137}{0{,}454} \approx 2{,}504405\ldotsTruncando a 3 casas: \;c_2=2{,}504.

Passo 8

Avaliar f(c_2) para verificar o sinal (mostra que fizemos duas iterações completas):
  • Estimativa de \log_{10}(2{,}504). Aproximando e truncando a 3 casas: \log_{10}(2{,}504)\approx 0{,}39866\ldots \quad\Rightarrow\quad \text{truncando: }0{,}398.
  • Produto 2{,}504\cdot 0{,}398 = 0{,}996592. Truncado a 3 casas: 0{,}996.
  • Então f(2{,}504)\approx 0{,}996 - 1 = -0{,}004.Truncando a 3 casas: \;f(2{,}504)=-0{,}003.
  • Como f(2{,}504) é negativo e f(3) é positivo, a raiz está em [2{,}504,3]. Concluímos as duas iterações exigidas; a aproximação obtida na segunda iteração, com truncamento a 3 casas, é c_2=2{,}504.

Resposta

\;2{,}504

Exercícios relacionados