Aplique o método da falsa posição para estimar o valor da raiz da equação
Para isso, utilize duas iterações do método, truncamento com
e intervalo inicial
.
Passo 1
O enunciado pede que eu aplique o método da falsa posição para estimar a raiz da função
usando exatamente duas iterações, truncamento com
casas decimais e intervalo inicial
. Dados fornecidos e decisões necessárias:
- Função:
. - Intervalo inicial:
. - Número de iterações:
. - Truncamento:
(vou truncar todos os valores numéricos intermediários a 3 casas decimais antes de usá-los nos cálculos seguintes). - Método exigido: método da falsa posição (regula falsi).
- Observação importante: para que o intervalo
contenha uma raiz, é necessário que e tenham sinais opostos. Para que isso ocorra com os valores usualmente esperados neste exercício, assumirei que significa (logaritmo decimal). Se a intenção fosse natural, não teria mudança de sinal.
Passo 2
O que é o método da falsa posição e a fórmula que vamos usar:
- O método da falsa posição parte de um intervalo
com e de sinais opostos. Ele usa a reta secante que une os pontos e e toma a interseção dessa reta com o eixo como nova aproximação da raiz. - A fórmula da abscissa da interseção é
- Interpretação de cada símbolo:
-
e são os extremos do intervalo atual. -
e são os valores da função nesses extremos. -
é a nova aproximação obtida pela falsa posição.
-
- Critério de atualização do intervalo:
- Se
então a nova raiz está em (mantém ). - Se
então a nova raiz está em (mantém ). - Se
então é a raiz exata.
- Se
- Regra de truncamento usada aqui: após cada operação relevante (valores de
, produtos, somas, divisões) eu truncarei o resultado a 3 casas decimais e usarei esse valor truncado nos passos seguintes.
Passo 3
Calcular
com
e truncando a 3 casas decimais:
- Primeiro
. Valor real . Truncando a 3 casas decimais:
- Agora
. Usando o truncado:
Truncando (já com 3 decimais):
.
Passo 4
Calcular
com truncamento a 3 casas:
-
valor real . Truncando a 3 casas:
- Agora
. Usando o valor truncado:
Truncando:
.
Observação: temos
e
, sinais opostos — ótimo, podemos aplicar falsa posição em
.
Passo 5
Primeira iteração: calcular
pela fórmula da falsa posição usando
,
,
,
. Aplicando a fórmula
Calculemos passo a passo (truncando resultados importantes a 3 casas):
- Numerador:
(Truncado a 3 casas:
.)
- Denominador:
(Truncado a 3 casas: .) - Agora a divisão:
Truncando a 3 casas:
Passo 6
Avaliar
para decidir o novo intervalo. Primeiro calculamos
e truncamos:
- Aproximação (cálculo aproximado e truncado):
. Truncando a 3 casas:
- Agora
. Truncando a 3 casas: . Truncando a 3 casas: . (Note que o produto real deu e a diferença real deu , truncando chega-se a .) - Sinal de
é negativo e é positivo, então a raiz está no intervalo . Atualizamos , .
Passo 7
Segunda iteração: com
,
,
,
. Aplicando a fórmula
Cálculos passo a passo (truncando a 3 casas onde indicado):
- Produto
: Truncado a 3 casas: . - Produto
. - Numerador:
(Truncado a 3 casas: .) - Denominador:
(Truncado: .) - Divisão:
Truncando a 3 casas:
Passo 8
Avaliar
para verificar o sinal (mostra que fizemos duas iterações completas):
- Estimativa de
. Aproximando e truncando a 3 casas: - Produto
. Truncado a 3 casas: . - Então
Truncando a 3 casas: . - Como
é negativo e é positivo, a raiz está em . Concluímos as duas iterações exigidas; a aproximação obtida na segunda iteração, com truncamento a 3 casas, é .