Encontre a fatoração LU da matriz:
A=\left[\begin{array}{ll} 2 & 1 \\\\ 4 & 3 \end{array}\right]

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a fatoração LU da matriz
A=\begin{pmatrix}2 & 1 \\[4pt] 4 & 3\end{pmatrix}.
Dados fornecidos:
a_{11}=2,\quad a_{12}=1,\quad a_{21}=4,\quad a_{22}=3.
O que precisa ser encontrado: matrizes L e U tais que A=LU, onde L é triangular inferior e U é triangular superior.]

Passo 2

Escolha do método: vou usar a forma padrão chamada método de Doolittle, em que a matriz L tem 1s na diagonal principal (ou seja, L é unitária inferior). É uma escolha natural para matrizes pequenas quando o pivô a_{11} é diferente de zero (aqui a_{11}=2\neq0), então não é necessário permutar linhas. Isso facilita os cálculos na prova.

Passo 3

Vamos representar L e U com incógnitas. Pela estrutura de Doolittle:
L=\begin{pmatrix}1 & 0 \\[4pt] \ell_{21} & 1\end{pmatrix},\qquad U=\begin{pmatrix}u_{11} & u_{12} \\[4pt] 0 & u_{22}\end{pmatrix}.
Aqui 1s na diagonal de L significam que as incógnitas são \ell_{21},u_{11},u_{12},u_{22}. Nosso objetivo é achar esses quatro números de modo que A=LU.]

Passo 4

Multiplicamos L por U e igualamos os coeficientes à matriz A. A multiplicação dá:
LU= \begin{pmatrix}1 & 0 \\[4pt] \ell_{21} & 1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}u_{11} & u_{12} \\[4pt] 0 & u_{22}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1\cdot u_{11}+0\cdot 0 & 1\cdot u_{12}+0\cdot u_{22} \\[6pt] \ell_{21}\cdot u_{11}+1\cdot 0 & \ell_{21}\cdot u_{12}+1\cdot u_{22} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} u_{11} & u_{12} \\[4pt] \ell_{21}u_{11} & \ell_{21}u_{12}+u_{22} \end{pmatrix}.
Igualando termo a termo com A, obtemos o sistema
\begin{cases} u_{11}=2,\\[4pt] u_{12}=1,\\[4pt] \ell_{21}u_{11}=4,\\[4pt] \ell_{21}u_{12}+u_{22}=3. \end{cases}]

Passo 5

Resolvendo as equações de cima para baixo (estratégia típica em Doolittle):
  1. Da primeira equação,
u_{11}=2.
  1. Da segunda,
u_{12}=1.
  1. Da terceira, como u_{11}=2,
\ell_{21}=\frac{4}{u_{11}}=\frac{4}{2}=2.
  1. Da quarta, substituindo \ell_{21}=2 e u_{12}=1,
u_{22}=3-\ell_{21}u_{12}=3-2\cdot1=1.
Assim encontramos todas as incógnitas.

Passo 6

Escrevendo as matrizes L e U com os valores achados:
L=\begin{pmatrix}1 & 0 \\[4pt] 2 & 1\end{pmatrix},\qquad U=\begin{pmatrix}2 & 1 \\[4pt] 0 & 1\end{pmatrix}.
Verificação rápida (opcional na prova): multiplicando L por U,
\begin{pmatrix}1 & 0 \\[4pt] 2 & 1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}2 & 1 \\[4pt] 0 & 1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}2 & 1 \\[4pt] 4 & 3\end{pmatrix}=A,
logo está correto.]

Resposta

L=\begin{pmatrix}1 & 0 \\[4pt] 2 & 1\end{pmatrix}
U=\begin{pmatrix}2 & 1 \\[4pt] 0 & 1\end{pmatrix}]

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