(20 Pontos) Um engenheiro calculou a integral I=\int_{0}^{2} f(x) d x pela regra do trapetio simples e obteve I_{T}=5 e pela regra do ponto médio obteve I_{M}=4. Qual valor seria obtido pelo engrenheiro se este utilizasse a regra de Simpson 1 / 3 ?

Passo 1

O enunciado pede a estimativa de
I = \int_{0}^{2} f(x)\,dx
usando três regras de Newton–Cotes simples: a regra do trapézio, a do ponto médio e a de Simpson 1/3. O engenheiro já obteve \displaystyle I_{T}=5 pela regra do trapézio simples e \displaystyle I_{M}=4 pela regra do ponto médio. Nosso objetivo é encontrar \displaystyle I_{S}, o valor dado pela regra de Simpson 1/3.

Passo 2

Vamos expressar cada fórmula em função de \displaystyle f(0), \displaystyle f(1) e \displaystyle f(2). Seja \displaystyle h = 2-0 = 2.
Para a regra do trapézio simples:
I_{T} = \frac{h}{2}\bigl[f(0) + f(2)\bigr] = \frac{2}{2}\bigl[f(0)+f(2)\bigr] = f(0)+f(2).
Para a regra do ponto médio simples:
I_{M} = h\,f\bigl(1\bigr) = 2\,f(1).
Para a regra de Simpson 1/3:
I_{S} = \frac{h}{6}\bigl[f(0) + 4\,f(1) + f(2)\bigr] = \frac{2}{6}\bigl[f(0)+4f(1)+f(2)\bigr] = \frac{1}{3}\bigl[f(0)+4f(1)+f(2)\bigr].

Passo 3

Note que
2\,I_{M} + I_{T} = 2\bigl(2f(1)\bigr) + \bigl[f(0)+f(2)\bigr] = 4f(1) + f(0) + f(2).
Logo, comparando com a expressão de I_{S}, temos
I_{S} = \frac{1}{3}\bigl[f(0)+4f(1)+f(2)\bigr] = \frac{2\,I_{M} + I_{T}}{3}.

Passo 4

Bast a substituir os valores conhecidos:
I_{S} = \frac{2\,I_{M} + I_{T}}{3} = \frac{2\cdot 4 + 5}{3} = \frac{8 + 5}{3} = \frac{13}{3}.

Resposta

\displaystyle \frac{13}{3}

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