Em determinado problema físico, o movimento angular de um pêndulo é regido por uma função dada por
, onde a é um ângulo medido em radianos. Considerando-se
usando-se 4 casas decimais, pede-se:
b) Faça o refinamento para achar a usando o método de Newton-Raphson com
apropriado.
b) Faça o refinamento para achar a usando o método de Newton-Raphson com
Passo 1
Beleza, então o enunciado diz que o movimento do pêndulo é dado por
e pede para achar a raiz
(aquele ângulo que zera
) usando o método de Newton–Raphson, com precisão
e 4 casas decimais.
Conteúdo envolvido: cálculo de derivadas (pra achar ) e aplicação iterativa da fórmula de Newton:
Conteúdo envolvido: cálculo de derivadas (pra achar
Precisamos de:
- a expressão de
, - sua derivada
, - um chute inicial
, - repetir até a diferença entre iterações ficar abaixo de
.
Passo 2
Primeiro, vamos achar
.
- Derivada de
é . - Derivada de
é .
Logo
Passo 3
Escolhemos um chute inicial
. Como
e
, o zero está entre 0 e 1. Um valor comum é
, já que
fica bem pequeno.
Passo 4
Agora, aplicamos a fórmula de Newton para obter
:
Com
:
Então
Passo 5
Repetimos para
:
Passo 6
Mais uma iteração para garantir a precisão:
A diferença
já é menor que
.
Resposta
Usando Newton–Raphson, obtemos
com 4 casas decimais de precisão.