Em determinado problema físico, o movimento angular de um pêndulo é regido por uma função dada por f(a)=-(e^a / 2)+2 cos (a), onde a é um ângulo medido em radianos. Considerando-se varepsilon=10^-4 e usando-se 4 casas decimais, pede-se:
b) Faça o refinamento para achar a usando o método de Newton-Raphson com a0 apropriado.

Passo 1

Beleza, então o enunciado diz que o movimento do pêndulo é dado por
f(a) ;=; -e^a2 + 2cos(a)
e pede para achar a raiz an+1 = an - f(an)f'(an) (aquele ângulo que zera ) usando o método de Newton–Raphson, com precisão e 4 casas decimais.
Conteúdo envolvido: cálculo de derivadas (pra achar ) e aplicação iterativa da fórmula de Newton:
Precisamos de:
  1. a expressão de ,
  2. sua derivada ,
  3. um chute inicial ,
  4. repetir até a diferença entre iterações ficar abaixo de .

Passo 2

Primeiro, vamos achar f'(a) ;=; -e^a2 ;-; 2sin(a) .
  • Derivada de é .
  • Derivada de é .
    Logo

Passo 3

Escolhemos um chute inicial . Como e , o zero está entre 0 e 1. Um valor comum é , já que fica bem pequeno.

Passo 4

Agora, aplicamos a fórmula de Newton para obter a1 ;=; a0 ;-;f(a0)f'(a0) :
f(0.9)approx -tfrace^0.92+2cos(0.9)approx 0.01215, f'(0.9)approx -tfrace^0.92-2sin(0.9)approx -2.7966
Com a1 = 0.9 - 0.01215-2.7966 approx 0.904345 :
Então

Passo 5

Repetimos para f(0.904345)approx 0.00105, f'(0.904345)approx -2.80735, :
a2 = 0.904345 - 0.00105-2.80735 approx 0.904719

Passo 6

Mais uma iteração para garantir a precisão:
f(0.904719)approx 1.2times10^-5, f'(0.904719)approx -2.8078,
a3 = 0.904719 - 1.2times10^-5-2.8078 approx 0.904724
A diferença já é menor que .

Resposta

Usando Newton–Raphson, obtemos
boxeda approx 0,9047 rad
com 4 casas decimais de precisão.

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