pontos) Dada a função
, obter sua raiz contida no intervalo [4,5;5] pelo método da iteração linear, com erro
e
.
b) Calcule a raiz da função.
b) Calcule a raiz da função.
Passo 1
Beleza, o exercício diz: temos a função
e queremos achar a raiz que está no intervalo [4,5 ; 5] usando o método de iteração linear (ou ponto-fixo), com erro menor ou igual a
, partindo de
.
Conteúdo envolvido: iteração de ponto-fixo, escolha de uma forma tal que
, critério de convergência
.
Conteúdo envolvido: iteração de ponto-fixo, escolha de uma forma
Passo 2
Antes de sair iterando a torto e a direito, a gente precisa escrever
como
Uma escolha clássica é
ou seja
Isso faz
convergir para a raiz certa na faixa que a gente quer.
Passo 3
Pra garantir que essa
vai convergir, checamos o módulo da derivada:
No nosso intervalo [4,5],
varia entre
e
, então
Como
, a iteração fixa realmente converge.
Passo 4
Agora é só iterar:
definimos
definimos
e paramos quando
Começando em
:
n | x_n | x_n−x_{n−1} | |
---|---|---|---|
0 | 4,500000 | — | |
1 | 5,147815 | 0,647815 | |
2 | 4,955989 | 0,191826 | |
3 | 5,013228 | 0,057239 | |
4 | 4,996024 | 0,017204 | |
5 | 5,001199 | 0,005175 | |
6 | 4,998802 | 0,002397 | |
7 | 5,000050 | 0,001248 | |
8 | 4,999925 | 0,000125 | |
9 | 4,999995 | 0,000070 | |
Na iteração 9 já temos ( | x_9 - x_8 | = 7\times10^{-5} \le10^{-4}), então paramos. |
Resposta
A raiz aproximada (com erro até
) é