(3,33 pontos) Dada a função f(x)=x^2+3 x-40=0, obter sua raiz contida no intervalo [4,5;5] pelo método da iteração linear, com erro <= 10^-4 e x0=4,5.
b) Calcule a raiz da função.

Passo 1

Beleza, o exercício diz: temos a função
f(x)=x^2+3x-40=0
e queremos achar a raiz que está no intervalo [4,5 ; 5] usando o método de iteração linear (ou ponto-fixo), com erro menor ou igual a , partindo de .
Conteúdo envolvido: iteração de ponto-fixo, escolha de uma forma tal que , critério de convergência .

Passo 2

Antes de sair iterando a torto e a direito, a gente precisa escrever x=varphi(x) como
x=raiz40-3x,
Uma escolha clássica é
varphi(x)=raiz40-3x
ou seja
Isso faz convergir para a raiz certa na faixa que a gente quer.

Passo 3

Pra garantir que essa varphi'(x)=ddxl(raiz40-3xr) =-32raiz40-3x vai convergir, checamos o módulo da derivada:
|varphi'(x)|<=32cdot5=0,3<1
No nosso intervalo [4,5], varia entre e , então
Como , a iteração fixa realmente converge.

Passo 4

Agora é só iterar:
definimos
xn+1=raiz40-3,xn,
e paramos quando
|xn+1-xn|<=10^-4
Começando em :
n x_n x_n−x_{n−1}
0 4,500000
1 5,147815 0,647815
2 4,955989 0,191826
3 5,013228 0,057239
4 4,996024 0,017204
5 5,001199 0,005175
6 4,998802 0,002397
7 5,000050 0,001248
8 4,999925 0,000125
9 4,999995 0,000070
Na iteração 9 já temos ( x_9 - x_8 = 7\times10^{-5} \le10^{-4}), então paramos.

Resposta

A raiz aproximada (com erro até xapprox4,999995approx5,0000 ) é

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