(3,33 pontos) Dada a função f(x)=x^2+3 x-40=0, obter sua raiz contida no intervalo [4,5;5] pelo método da iteração linear, com erro <= 10^-4 e x0=4,5.
a) Determine a função de iteração e sua convergência.

Passo 1

Beleza, o enunciado pede para a gente encontrar a raiz de
f(x)=x^2+3x-40=0
que está entre 4,5 e 5, usando o método de iteração linear (fixed‐point). Precisamos:
  1. escolher uma função de iteração tal que seja equivalente a ;
  2. verificar que é uma contração em (isto garante convergência pelo Teorema do Ponto Fixo de Banach);
  3. garantir que o iterado inicial fica dentro do intervalo e produz convergência com erro .

Passo 2

Vamos usar a “forma relaxada”
g(x);=;x ;-;lambda,f(x)
e escolher f'(x)=2x+3, xin[4,5,5]implies f'(x)in[12,13] para que l|1-lambda,(2x+3)r|<1 forall xin[4,5,5] seja contração. Aqui
0
Pelo critério de contração precisamos de
lambda=113
Isto dá a condição
boxedg(x)=x-113,l(x^2+3x-40r)
Escolhemos, por simplicidade,
Então nossa função de iteração fica

Passo 3

Agora conferimos a contração:
g'(x)=1-113(2x+3) =13-(2x+3)13
Em g'(4,5)=13-1213=113, g'(5)=13-1313=0, e l|g'(x)r|<= 113<1 para todo xin[4,5,5] temos
g(4,5)=4,5+6,2513approx4,9808, g(5)=5,
logo
Além disso,
ou seja .
Portanto, por Banach, existe uma única raiz fixa e a iteração converge para ela.

Resposta

Função de iteração:
boxedg(x)=x-x^2+3x-4013
Como em e mapeia o intervalo em si mesmo, a iteração converge (linearmente) ao único ponto fixo, que é a raiz procurada.

Exercícios relacionados