Considere a tabela a seguir:
x -3 -1 0 2 5
y 8 3 -2 -3 2
:— :— :— :— :— :—
Encontre P2(x), utilizando:
Método de Lagrange, para os 3 primeiros pontos

Passo 1

Neste exercício, vamos encontrar o polinômio de interpolação de Lagrange usando os 3 primeiros pontos da tabela fornecida. A matéria envolvida é interpolação polinomial, especificamente o Método de Lagrange. Vamos precisar das coordenadas dos pontos e das fórmulas do método para resolver.

Passo 2

Primeiro, identificamos os três primeiros pontos da tabela:
(-3, 8), (-1, 3), (0, -2)
Esses pontos serão usados para construir o polinômio .

Passo 3

O polinômio de Lagrange é uma combinação das bases de Lagrange P2(x) = y0 L0(x) + y1 L1(x) + y2 L2(x) multiplicadas pelos valores de Li(x) = prodsubstackj=0 j neq i^2 x - xjxi - xj correspondentes. A fórmula geral é:
onde cada é calculado da seguinte forma:

Passo 4

Vamos calcular cada base de Lagrange individualmente.
Para L0(x) = (x - x1)(x - x2)(x0 - x1)(x0 - x2) = (x - (-1))(x - 0)(-3 - (-1))(-3 - 0) = (x + 1)x6 :

Passo 5

Para L1(x) = (x - x0)(x - x2)(x1 - x0)(x1 - x2) = (x - (-3))(x - 0)(-1 - (-3))(-1 - 0) = -(x + 3)x2 :

Passo 6

Para L2(x) = (x - x0)(x - x1)(x2 - x0)(x2 - x1) = (x + 3)(x + 1)3 :

Passo 7

Agora, substituímos as bases no polinômio de Lagrange:
P2(x) = 8 cdot (x + 1)x6 + 3 cdot (-(x + 3)x2) + (-2) cdot (x + 3)(x + 1)3

Passo 8

Vamos simplificar cada termo:
P2(x) = 8(x^2 + x)6 - 3(x^2 + 3x)2 - 2(x^2 + 4x + 3)3
P2(x) = 4(x^2 + x)3 - 9(x^2 + 3x)6 - 4(x^2 + 4x + 3)6

Passo 9

Encontramos um denominador comum para somar os termos:
P2(x) = 8x^2 + 8x - 9x^2 - 27x - 4x^2 - 16x - 126
Simplificando:
P2(x) = -5x^2 - 35x - 126

Resposta

P2(x) = -56x^2 - 356x - 2

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