Considere a tabela a seguir:
x -3 -1 0 2 5
y 8 3 -2 -3 2
:— :— :— :— :— :—
Encontre P2(x), utilizando:
Método de Newton (Dif. Divididas), para os 3 últimos pontos.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o polinômio de grau 2, chamado de , que passa pelos três últimos pontos da tabela usando o Método de Newton das Diferenças Divididas. Isso envolve interpolação polinomial, que é uma técnica para encontrar um polinômio que passa por um conjunto de pontos dados.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os três últimos pontos da tabela que vamos usar:
c|c x & y hline 0 & -2 2 & -3 5 & 2

Passo 3

No Método de Newton das Diferenças Divididas, construímos uma tabela onde calculamos as diferenças divididas para encontrar os coeficientes do polinômio. Vamos montar essa tabela passo a passo.

Passo 4

Começamos organizando os valores de c|c|c|c x & f[xi] & f[xi, xi+1] & f[xi, xi+1, xi+2] hline 0 & -2 & & 2 & -3 & & 5 & 2 & & e :

Passo 5

Calculamos a primeira diferença dividida f[x0, x1] = f(x1) - f(x0)x1 - x0 = -3 - (-2)2 - 0 = -12 = -0,5 :
f[x1, x2] = f(x2) - f(x1)x2 - x1 = 2 - (-3)5 - 2 = 53 approx 1,6667
c|c|c|c x & f[xi] & f[xi, xi+1] & f[xi, xi+1, xi+2] hline 0 & -2 & -0,5 & 2 & -3 & 1,6667 & 5 & 2 & &
Atualizando a tabela:

Passo 6

Agora, calculamos a segunda diferença dividida :
f[x0, x1, x2] = f[x1, x2] - f[x0, x1]x2 - x0 = 1,6667 - (-0,5)5 - 0 = 2,16675 approx 0,4333
Atualizando a tabela:

Passo 7

Com os coeficientes calculados, podemos escrever o polinômio de Newton:
P2(x) = f[x0] + f[x0, x1](x - x0) + f[x0, x1, x2](x - x0)(x - x1)
Substituindo os valores:
P2(x) = -2 + (-0,5)(x - 0) + 0,4333(x - 0)(x - 2)

Passo 8

Vamos simplificar o polinômio:
P2(x) = -2 - 0,5x + 0,4333x(x - 2)
P2(x) = -2 - 0,5x + 0,4333x^2 - 0,8666x
P2(x) = 0,4333x^2 - 1,3666x - 2

Resposta

Então, o polinômio de interpolação de Newton P2(x) = 0,4333x^2 - 1,3666x - 2 é:

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