Seja a função
, obter a raiz contida no intervalo
pelo método de Newton. Os cálculos devem ser realizados com 4 decimais com arredondamento e erro não superior a 0,001 . Para tanto, observe as condições de convergência para escolha do melhor extremo (valor inicial).
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para usar o Método de Newton para achar a raiz da função
no “intervalo”
Conteúdo envolvido:
- Derivada de
- Fórmula do Método de Newton:
- Condição de convergência simples: escolher
de modo que
o que garante convergência “bonitinha” e monótona.
Passo 2
Primeiro dá uma olhada em
e
:
-
-
Ambos são positivos, então não há troca de sinal entre 8 e 9 (logo não tem raiz “isolada” lá dentro). Mas o Método de Newton não exige isolamento por sinal, ele só precisa de um chute inicial que satisfaça
Como
Passo 3
Agora aplicamos o Método de Newton com 4 casas decimais a cada cálculo (arredondando):
- Definir
2) Para cada iteração, usar
com
Passo 4
Vamos às contas (arredondando cada valor a 4 decimais):
Iteração 1:
Iteração 2:
Iteração 3:
Iteração 4:
Iteração 5:
Checamos o erro entre iterações:
.
Pronto, convergiu dentro da tolerância!
Pronto, convergiu dentro da tolerância!
Resposta
A raiz aproximada (com 4 casas e erro ≤ 0,001) é
.