Seja a função f(x)=x^2+9,5 x+8,5, obter a raiz contida no intervalo [8 ; 9] pelo método de Newton. Os cálculos devem ser realizados com 4 decimais com arredondamento e erro não superior a 0,001 . Para tanto, observe as condições de convergência para escolha do melhor extremo (valor inicial).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para usar o Método de Newton para achar a raiz da função
f(x)=x^2+9,5x+8,5
no “intervalo” xn+1=xn-f(xn)f'(xn), fazendo todos os cálculos com 4 casas decimais (arredondando) e garantindo erro menor que 0,001.
Conteúdo envolvido:
- Derivada de f(x0),f''(x0)>0,: e segunda derivada .
- Fórmula do Método de Newton:
  • Condição de convergência simples: escolher de modo que
    o que garante convergência “bonitinha” e monótona.

Passo 2

Primeiro dá uma olhada em f(x0),f''(x0)>0 e :

  • Ambos são positivos, então não há troca de sinal entre 8 e 9 (logo não tem raiz “isolada” lá dentro). Mas o Método de Newton não exige isolamento por sinal, ele só precisa de um chute inicial que satisfaça

Como sempre, basta que . Tanto quanto servem. A gente escolhe porque o primeiro “passo” vai ser um pouco menor (corrige menos e costuma convergir mais rápido).

Passo 3

Agora aplicamos o Método de Newton com 4 casas decimais a cada cálculo (arredondando):
  1. Definir x0=8,0000
    2) Para cada iteração, usar
    xn+1=xn-f(xn)f'(xn)com f(xn)=xn^2+9,5xn+8,5, f'(xn)=2xn+9,5

Passo 4

Vamos às contas (arredondando cada valor a 4 decimais):
Iteração 1:
x1=8,0000-148,500025,5000 =8,0000-5,8235 =2,1765
x2=2,1765-33,914113,8529 =2,1765-2,4498 =-0,2733
Iteração 2:
x3=-0,2733-5,97748,9534 =-0,2733-0,6678 =-0,9411
x4=-0,9411-0,44667,6179 =-0,9411-0,0586 =-0,9997
Iteração 3:
x5=-0,9997-0,00217,5007 =-0,9997-0,0003 =-1,0000
Iteração 4:
Iteração 5:
Checamos o erro entre iterações:
.
Pronto, convergiu dentro da tolerância!

Resposta

A raiz aproximada (com 4 casas e erro ≤ 0,001) é
.

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