( 3,33 pontos) Determine o vetor solução do sistema linear abaixo, através do método iterativo de Gauss-Seidel, com epsilon<0,0004. Para tanto, verifique as condições de convergência. Utilize o seguinte vetor como aproximação inicial v^0=(x^0 ; y^0 ; z^0 ; w^0)=(1,1951 ; 2,4110 ; 3,6010 ; 1,4982).
c 2 x+4 y+z+20 w=45,6 x+2 y+10 z+w=43,5 20 x+y+z+2 w=33 x+10 y+2 z+4 w=38,4

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente usar o método iterativo de Gauss–Seidel pra resolver um sistema de 4 equações e 4 incógnitas, até que a diferença entre iterações seja menor que ε=0,0004. Antes disso, a gente precisa verificar se o método de Gauss–Seidel converge nesse sistema. Então o conteúdo aqui é “métodos iterativos para sistemas lineares” e, mais especificamente, “condições de convergência do Gauss–Seidel”. Para resolver, vamos precisar:
  1. Entender a condição de convergência (dominância diagonal ou critério de Sassenfeld).
  2. Analisar o sistema dado.
  3. Concluir se dá pra iterar ou não.

Passo 2

Teoria rapidinha:
  • Gauss–Seidel costuma convergir se a matriz dos coeficientes for estritamente diagonalmente dominante, ou se passar no critério de Sassenfeld.
  • Diagonalmente dominante significa, para cada linha |aii| > sumjneq i |aij| , 2x + 4y + z +20w = 45,6, x +2y +10z + w = 43,5, 20x + y + z +2w = 33, x +10y +2z +4w = 38,4
  • Critério de Sassenfeld gera valores e requer .
Vamos aplicar isso ao nosso sistema

Passo 3

  1. Conferindo dominância diagonal:
  • Linha 1: beta1 = 4+1+202 = 12,5 >1 Longrightarrow betamax>1 vs. → não domina.
  • Linha 2: vs. → não domina.
  • Linha 3: coef. de é 1, vs. → não domina.
  • Linha 4: vs. → não domina.
    Logo, não há dominância diagonal.
  1. Critério de Sassenfeld (só pra fechar):
Bom, já deu ruim no primeiro, então e falha o critério.
Conclusão: o sistema não satisfaz as condições de convergência do Gauss–Seidel. Isso significa que, se a gente tentar iterar, não teremos garantia de chegar numa solução estável dentro de .

Resposta

O sistema não satisfaz as condições de convergência (nem dominância diagonal nem critério de Sassenfeld), logo o método de Gauss–Seidel diverge e não é possível obter vetor solução com .

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