( 3,33 pontos) Determine o vetor solução do sistema linear abaixo, através do método iterativo de Gauss-Seidel, com . Para tanto, verifique as condições de convergência. Utilize o seguinte vetor como aproximação inicial .
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente usar o método iterativo de Gauss–Seidel pra resolver um sistema de 4 equações e 4 incógnitas, até que a diferença entre iterações seja menor que ε=0,0004. Antes disso, a gente precisa verificar se o método de Gauss–Seidel converge nesse sistema. Então o conteúdo aqui é “métodos iterativos para sistemas lineares” e, mais especificamente, “condições de convergência do Gauss–Seidel”. Para resolver, vamos precisar:
Entender a condição de convergência (dominância diagonal ou critério de Sassenfeld).
Analisar o sistema dado.
Concluir se dá pra iterar ou não.
Passo 2
Teoria rapidinha:
Gauss–Seidel costuma convergir se a matriz dos coeficientes for estritamente diagonalmente dominante, ou se passar no critério de Sassenfeld.
Diagonalmente dominante significa, para cada linha |aii| > sumjneq i |aij| , 2x + 4y + z +20w = 45,6, x +2y +10z + w = 43,5, 20x + y + z +2w = 33, x +10y +2z +4w = 38,4
Critério de Sassenfeld gera valores e requer .
Vamos aplicar isso ao nosso sistema
Passo 3
Conferindo dominância diagonal:
Linha 1: beta1 = 4+1+202 = 12,5 >1 Longrightarrow betamax>1 vs. → não domina.
Linha 2: vs. → não domina.
Linha 3: coef. de é 1, vs. → não domina.
Linha 4: vs. → não domina.
Logo, não há dominância diagonal.
Critério de Sassenfeld (só pra fechar):
Bom, já deu ruim no primeiro, então e falha o critério.
Conclusão: o sistema não satisfaz as condições de convergência do Gauss–Seidel. Isso significa que, se a gente tentar iterar, não teremos garantia de chegar numa solução estável dentro de .
Resposta
O sistema não satisfaz as condições de convergência (nem dominância diagonal nem critério de Sassenfeld), logo o método de Gauss–Seidel diverge e não é possível obter vetor solução com .