Aplique o método de Newton à resolução do sistema não linear
onde
é dada por:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse sistema não linear usando o Método de Newton. A gente tem o sistema $ F(\mathrm{x}) = 0 $ onde:
A ideia é encontrar os valores de $ x_{1} $ e $ x_{2} $ que satisfazem essas duas equações. Para isso, vamos usar o Método de Newton, que precisa da função $ F $ e da sua matriz jacobiana. Vamos começar!
Passo 2
Primeiro, o Método de Newton para sistemas de equações funciona de forma similar ao da equação única, mas agora lidamos com vetores e matrizes. A cada passo, ajustamos nossos valores de $ x $ usando a fórmula:
Onde:
- $ \mathrm{x} $ é o vetor de incógnitas.
- $ \mathbf{J} $ é a matriz jacobiana de $ F $.
- $ F(\mathrm{x}) $ é o vetor das funções.
Passo 3
Vamos encontrar a matriz jacobiana $ \mathbf{J} $ de $ F $. A jacobiana é uma matriz onde cada elemento $ J_{ij} $ é a derivada parcial da $ i $-ésima função em relação à $ j $-ésima variável.
Para o nosso sistema:
As derivadas parciais são:
Então, a matriz jacobiana fica:
Passo 4
Vamos iniciar o Método de Newton com a estimativa inicial fornecida:
Primeiro, calculamos $ F(\mathrm{x}^{0}) $:
Em seguida, calculamos a jacobiana em $ \mathrm{x}^{0} $:
Passo 5
Agora, vamos encontrar $ \mathbf{J}{-1}(\mathrm{x}{0}) $. A inversa de uma matriz $ 2 \times 2 $ é dada por:
Para nossa jacobiana:
Então,
Passo 6
Agora, aplicamos a fórmula do Método de Newton:
Vamos calcular o produto $ \mathbf{J}{-1}(\mathrm{x}{0}) \cdot F(\mathrm{x}^{0}) $:
Então,
Passo 7
Agora temos uma nova estimativa:
Vamos verificar se a diferença entre $ \mathrm{x}^{1} $ e $ \mathrm{x}^{0} $ é menor que $ \epsilon = 0,05 $.
Calculando a diferença:
Como $ 1,4907 > 0,05 $, precisamos continuar com mais iterações.
Passo 8
Vamos repetir o processo com $ \mathrm{x}^{1} $:
Primeiro, calculamos $ F(\mathrm{x}^{1}) $:
Em seguida, a matriz jacobiana em $ \mathrm{x}^{1} $:
Passo 9
Calculamos a inversa da jacobiana em $ \mathrm{x}^{1} $:
Passo 10
Aplicamos a fórmula do Método de Newton novamente:
Calculando o produto:
Então,
Passo 11
Agora temos:
Vamos verificar a diferença com $ \mathrm{x}^{1} $:
Como $ 0,134 > 0,05 $, precisamos continuar.
Passo 12
Repetindo o processo com $ \mathrm{x}^{2} $:
Calcular $ F(\mathrm{x}^{2}) $:
Matriz jacobiana em $ \mathrm{x}^{2} $:
Passo 13
Encontrar a inversa da jacobiana em $ \mathrm{x}^{2} $:
Passo 14
Aplicamos o Método de Newton novamente:
Calculando o produto:
Então,
Passo 15
Verificando a diferença entre $ \mathrm{x}^{3} $ e $ \mathrm{x}^{2} $:
Como a diferença é menor que $ \epsilon = 0,05 $, paramos aqui.
Resposta
A solução aproximada do sistema é: