Aplique o método de Newton à resolução do sistema não linear F(x)=0 onde F(x) é dada por:
F(x)=(l x1+x2-3 x1^2+x2^2-9 ] , cujas soluções são x^0=[l 1 4 ] e epsilon<0,05 çõã

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema não linear usando o Método de Newton. A gente tem o sistema $ F(\mathrm{x}) = 0 $ onde:
F(x) = 0
A ideia é encontrar os valores de $ x_{1} $ e $ x_{2} $ que satisfazem essas duas equações. Para isso, vamos usar o Método de Newton, que precisa da função $ F $ e da sua matriz jacobiana. Vamos começar!

Passo 2

Primeiro, o Método de Newton para sistemas de equações funciona de forma similar ao da equação única, mas agora lidamos com vetores e matrizes. A cada passo, ajustamos nossos valores de $ x $ usando a fórmula:
x
Onde:
  • $ \mathrm{x} $ é o vetor de incógnitas.
  • $ \mathbf{J} $ é a matriz jacobiana de $ F $.
  • $ F(\mathrm{x}) $ é o vetor das funções.

Passo 3

Vamos encontrar a matriz jacobiana $ \mathbf{J} $ de $ F $. A jacobiana é uma matriz onde cada elemento $ J_{ij} $ é a derivada parcial da $ i $-ésima função em relação à $ j $-ésima variável.
Para o nosso sistema:
J
As derivadas parciais são:
F
Jij
Então, a matriz jacobiana fica:
i

Passo 4

Vamos iniciar o Método de Newton com a estimativa inicial fornecida:
x^0 = 1 4
Primeiro, calculamos $ F(\mathrm{x}^{0}) $:
F(x^0)
Em seguida, calculamos a jacobiana em $ \mathrm{x}^{0} $:
F(x^0) = 1 + 4 - 3 1^2 + 4^2 - 9 = 2 8

Passo 5

Agora, vamos encontrar $ \mathbf{J}{-1}(\mathrm{x}{0}) $. A inversa de uma matriz $ 2 \times 2 $ é dada por:
J^-1(x^0)
Para nossa jacobiana:
2 times 2
Então,
J^-1 = 1ad - bc d & -b -c & a
a = 1, b = 1, c = 2, d = 8

Passo 6

Agora, aplicamos a fórmula do Método de Newton:
x^1 = x^0 - J^-1(x^0) cdot F(x^0)
Vamos calcular o produto $ \mathbf{J}{-1}(\mathrm{x}{0}) \cdot F(\mathrm{x}^{0}) $:
J^-1(x^0) cdot F(x^0)
Então,
J^-1(x^0) cdot F(x^0) = 16 8 & -1 -2 & 1 2 8 = 16 (8)(2) + (-1)(8) (-2)(2) + (1)(8) = 16 16 - 8 -4 + 8 = 16 8 4 = 86 46 = 43 23

Passo 7

Agora temos uma nova estimativa:
x^1 = -13 103
Vamos verificar se a diferença entre $ \mathrm{x}^{1} $ e $ \mathrm{x}^{0} $ é menor que $ \epsilon = 0,05 $.
Calculando a diferença:
x^1
Como $ 1,4907 > 0,05 $, precisamos continuar com mais iterações.

Passo 8

Vamos repetir o processo com $ \mathrm{x}^{1} $:
Primeiro, calculamos $ F(\mathrm{x}^{1}) $:
x^1
Em seguida, a matriz jacobiana em $ \mathrm{x}^{1} $:
F(x^1)

Passo 9

Calculamos a inversa da jacobiana em $ \mathrm{x}^{1} $:
x^1
det(J) = (1)(203) - (1)(-23) = 203 + 23 = 223

Passo 10

Aplicamos a fórmula do Método de Newton novamente:
x^2 = x^1 - J^-1(x^1) cdot F(x^1)
Calculando o produto:
J^-1(x^1) cdot F(x^1) = 1011 & -322 111 & 322 0 209 = 1011(0) + (-322)(209) 111(0) + 322(209) = -60198 60198 = -1033 1033
Então,
x^2 = -13 103 - -1033 1033 = -13 + 1033 103 - 1033 = -1133 + 1033 11033 - 1033 = -133 10033

Passo 11

Agora temos:
x^2 = -133 10033
Vamos verificar a diferença com $ \mathrm{x}^{1} $:
x^1
Como $ 0,134 > 0,05 $, precisamos continuar.

Passo 12

Repetindo o processo com $ \mathrm{x}^{2} $:
Calcular $ F(\mathrm{x}^{2}) $:
x^2
Matriz jacobiana em $ \mathrm{x}^{2} $:
F(x^2)

Passo 13

Encontrar a inversa da jacobiana em $ \mathrm{x}^{2} $:
x^2
det(J) = (1)(20033) - (1)(-233) = 20033 + 233 = 20233

Passo 14

Aplicamos o Método de Newton novamente:
x^3 = x^2 - J^-1(x^2) cdot F(x^2)
Calculando o produto:
J^-1(x^2) cdot F(x^2) = 100101 & -33202 1101 & 33202 0 2001089 = 100101(0) + (-33202)(2001089) 1101(0) + 33202(2001089) = -6600219078 6600219078 = -330109539 330109539 approx -0,003 0,003
Então,
x^3 = -133 10033 - -0,003 0,003 = -133 + 0,003 10033 - 0,003 approx -0,030 3,030

Passo 15

Verificando a diferença entre $ \mathrm{x}^{3} $ e $ \mathrm{x}^{2} $:
x^3
Como a diferença é menor que $ \epsilon = 0,05 $, paramos aqui.

Resposta

A solução aproximada do sistema é:
x approx -0,030 3,030

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