Obter f(40) usando um polinômio interpolador de Newton de grau 3 (4 pontos). Considere a seguinte tabela: Obs: Determine o polinômio.
X Ordem 0 Ordem 1 Ordem 2 Ordem 3
x0 30 0.5 0.0148 -0.0001 -0.0000002
x1 35 0.574 0.0133 -0.000105
x2 45 0.707 0.0112
x3 55 0.819

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a questão está pedindo. A gente precisa calcular f(40) usando um polinômio interpolador de Newton de grau 3. Basicamente, isso significa que vamos usar os valores dados na tabela para construir um polinômio que “interpola” esses pontos, ou seja, passa exatamente por eles. Para isso, vamos precisar entender como funciona a interpolação de Newton, especialmente com diferenças divididas. Então, bora lá!

Passo 2

Primeiro, vamos organizar os dados que temos. A tabela nos dá os valores de x e os correspondentes f(x), além das diferenças divididas até a ordem 3. As diferenças divididas são usadas no método de Newton para construir o polinômio. Vamos anotar os valores:
  • x0 = 30, f(x0) = 0.5
  • x1 = 35, f(x1) = 0.574
  • x2 = 45, f(x2) = 0.707
  • x3 = 55, f(x3) = 0.819
As diferenças divididas já estão calculadas na tabela, o que facilita nosso trabalho.

Passo 3

Agora, vamos montar o polinômio de Newton. A forma geral do polinômio de Newton de grau 3 é:
P3(x) = f[x0] + f[x0, x1](x - x0) + f[x0, x1, x2](x - x0)(x - x1) + f[x0, x1, x2, x3](x - x0)(x - x1)(x - x2)
Onde:
  • f[x0] é simplesmente f(x0).
  • f[x0, x1] é a diferença dividida de primeira ordem.
  • f[x0, x1, x2] é a diferença dividida de segunda ordem.
  • f[x0, x1, x2, x3] é a diferença dividida de terceira ordem.
Vamos substituir os valores que temos:
P3(x) = 0.5 + 0.0148(x - 30) - 0.0001(x - 30)(x - 35) - 0.0000002(x - 30)(x - 35)(x - 45)

Passo 4

Com o polinômio montado, vamos agora calcular f(40). Basta substituir x = 40 na equação do polinômio:
P3(40) = 0.5 + 0.0148(40 - 30) - 0.0001(40 - 30)(40 - 35) - 0.0000002(40 - 30)(40 - 35)(40 - 45)
Vamos calcular cada parte:
  1. 0.0148(40 - 30) = 0.0148 times 10 = 0.148
  2. -0.0001(40 - 30)(40 - 35) = -0.0001 times 10 times 5 = -0.005
  3. -0.0000002(40 - 30)(40 - 35)(40 - 45) = -0.0000002 times 10 times 5 times (-5) = 0.000005
Somando tudo:
P3(40) = 0.5 + 0.148 - 0.005 + 0.000005 = 0.643005

Resposta

f(40) approx 0.643

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