Obter
usando um polinômio interpolador de Newton de grau 3 (4 pontos). Considere a seguinte tabela: Obs: Determine o polinômio.
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Ordem 0 | Ordem 1 | Ordem 2 | Ordem 3 | |
---|---|---|---|---|---|
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30 | 0.5 | 0.0148 | -0.0001 | -0.0000002 |
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35 | 0.574 | 0.0133 | -0.000105 | |
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45 | 0.707 | 0.0112 | ||
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55 | 0.819 |
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que a questão está pedindo. A gente precisa calcular
usando um polinômio interpolador de Newton de grau 3. Basicamente, isso significa que vamos usar os valores dados na tabela para construir um polinômio que “interpola” esses pontos, ou seja, passa exatamente por eles. Para isso, vamos precisar entender como funciona a interpolação de Newton, especialmente com diferenças divididas. Então, bora lá!
Passo 2
Primeiro, vamos organizar os dados que temos. A tabela nos dá os valores de
e os correspondentes
, além das diferenças divididas até a ordem 3. As diferenças divididas são usadas no método de Newton para construir o polinômio. Vamos anotar os valores:
-
, -
, -
, -
,
As diferenças divididas já estão calculadas na tabela, o que facilita nosso trabalho.
Passo 3
Agora, vamos montar o polinômio de Newton. A forma geral do polinômio de Newton de grau 3 é:
Onde:
-
é simplesmente . -
é a diferença dividida de primeira ordem. -
é a diferença dividida de segunda ordem. -
é a diferença dividida de terceira ordem.
Vamos substituir os valores que temos:
Passo 4
Com o polinômio montado, vamos agora calcular
. Basta substituir
na equação do polinômio:
Vamos calcular cada parte:
Somando tudo: