Data a tabela abaixo calcule os valores dos polinomios interpoladores pelos métodos que se pedem:
llx & f(x)
0,11,221
0,6 3,320
0,8 4,953
Pelo polinômio de Lagrange

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar um polinômio interpolador usando o método de Lagrange com os seguintes pontos:
ll x & f(x) 0,11 & 221 0,6 & 3,320 0,8 & 4,953
Para fazer isso, vamos precisar entender como funciona o método de Lagrange e aplicar a fórmula passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um polinômio interpolador de Lagrange. É um polinômio que passa exatamente por todos os pontos dados. A fórmula geral para o polinômio interpolador de Lagrange $ L(x) $ com $ n+1 $ pontos é:
L(x)
Onde cada $ l_i(x) $ é o polinômio base de Lagrange definido por:
n+1
No nosso caso, temos 3 pontos, então $ n = 2 $.

Passo 3

Vamos identificar nossos pontos:
x0 = 0,11 & f(x0) = 221 x1 = 0,6 & f(x1) = 3,320 x2 = 0,8 & f(x2) = 4,953
Agora, vamos calcular cada $ l_i(x) $.

Passo 4

Calculando $ l_0(x) $:
l0(x)
Substituindo os valores:
l0(x) = x - x1x0 - x1 cdot x - x2x0 - x2

Passo 5

Calculando $ l_1(x) $:
l1(x)
Substituindo os valores:
l1(x) = x - x0x1 - x0 cdot x - x2x1 - x2

Passo 6

Calculando $ l_2(x) $:
l2(x)
Substituindo os valores:
l2(x) = x - x0x2 - x0 cdot x - x1x2 - x1

Passo 7

Agora, vamos montar o polinômio interpolador $ L(x) $:
L(x)
Substituindo os valores:
L(x) = f(x0) cdot l0(x) + f(x1) cdot l1(x) + f(x2) cdot l2(x)

Passo 8

Vamos expandir cada termo:
L(x) = 221 ( x - 0,6-0,49 cdot x - 0,8-0,69 ) + 3,320 ( x - 0,110,49 cdot x - 0,8-0,2 ) + 4,953 ( x - 0,110,69 cdot x - 0,60,2 )
Isso pode ser simplificado, mas para manter a didática, vamos deixar dessa forma.

Passo 9

Prontinho! Agora já temos o polinômio interpolador usando o método de Lagrange com os pontos fornecidos.

Resposta

O polinômio interpolador de Lagrange que passa pelos pontos dados é:
L(x) = 221 ( x - 0,6-0,49 cdot x - 0,8-0,69 ) + 3,320 ( x - 0,110,49 cdot x - 0,8-0,2 ) + 4,953 ( x - 0,110,69 cdot x - 0,60,2 )
Você pode expandir e simplificar esse polinômio conforme necessário!

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