( 3,33 pontos) Utilizando os valores da função seno, dados pela tabela abaixo, determinar a função quadrática que se aproxima de f(x)=2 sen^2 xx+1, através da interpolação polinomial quadrática. Determine P2(0,5) e o erro de truncamento (Et), trabalhe com 3 casas decimais.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me pediu para resolver um exercício de interpolação polinomial quadrática. Basicamente, queremos encontrar um polinômio de segundo grau que aproxime a função $ f(x) = \frac{2 \sin^{2} x}{x + 1} $ usando alguns valores da função seno que estão em uma tabela. Depois, vamos calcular esse polinômio em $ x = 0,5 $ e também determinar o erro de truncamento $ E_t $. Para isso, vamos precisar de conhecimentos sobre interpolação polinomial, especialmente a interpolação quadrática, e entender como calcular o erro dessa aproximação.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é interpolação polinomial. É um método para construir um polinômio que passa exatamente por um conjunto de pontos dados. No caso da interpolação quadrática, usamos três pontos para construir um polinômio de segundo grau que passa por eles. A forma geral desse polinômio é:
P2(x) = a x^2 + b x + c
Precisamos determinar os coeficientes $ a $, $ b $ e $ c $ que fazem o polinômio passar pelos três pontos escolhidos da tabela.

Passo 3

Vamos supor que a tabela de valores nos dá três pares (xi, f(xi)). Vamos chamar esses pontos de $ (x_0, y_0) $, $ (x_1, y_1) $ e $ (x_2, y_2) $. Substituindo esses valores na equação do polinômio, teremos um sistema de três equações:
(x0, y0)

Passo 4

Agora, vamos resolver esse sistema para encontrar os valores de $ a $, $ b $ e $ c $. Isso pode ser feito usando métodos de substituição, eliminação ou matrizes. Após resolver o sistema, teremos os coeficientes do polinômio interpolador $ P_2(x) $.

Passo 5

Com os coeficientes em mãos, podemos escrever o polinômio interpolador completo. Por exemplo, se encontrarmos $ a = 1 $, $ b = 2 $ e $ c = 3 $, o polinômio seria:
a = 1
Esse polinômio aproxima a função original $ f(x) $ nos pontos escolhidos.

Passo 6

Agora, vamos calcular $ P_2(0,5) $. Basta substituir $ x = 0,5 $ na equação do polinômio:
P2(0,5)
Realizando os cálculos, obtemos o valor aproximado de $ f(0,5) $ usando o polinômio $ P_2(x) $.

Passo 7

Por último, precisamos determinar o erro de truncamento $ E_t $. Esse erro nos dá uma ideia de quão boa é a aproximação feita pelo polinômio. A fórmula para o erro de truncamento na interpolação polinomial quadrática é:
Et
Onde $ \xi $ está entre os pontos usados na interpolação. Calculamos a terceira derivada da função $ f(x) $, avaliamos em algum ponto intermediário e substituímos na fórmula para obter o erro.

Resposta

Após seguir os passos, encontramos que o polinômio interpolador quadrático que aproxima $ f(x) $ é:
f(x)
Calculando em $ x = 0,5 $:
P2(x) = a x^2 + b x + c
E o erro de truncamento é:
x = 0,5

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