3.34 O senhor Antonio está considerando várias opções para o abastecimento de água em seu plano de 50 anos, incluindo a dessalinização. Espera-se que um aqüífero salobro produza água dessalinizada, gerando receitas de \ 4,1 milhões por ano, durante os primeiros 4 anos. Depois desse período, devido à menor produção, haverá redução da receita anual em \õíàçãáçã 50.000 ao ano. Se o aqüífero se esgotar completamente em 25 anos, qual é o valor presente da opção de dessalinizar a uma taxa de juros de 6 \% ao ano?

Passo 1

O enunciado dá o seguinte cenário (vou listar tudo com calma, pegando os números do enunciado):
  • Horizonte do projeto: 50 anos (mas o aquífero se esgota em 25 anos).
  • Receita anual esperada inicialmente: \$4{,}1 milhões por ano nos primeiros 4 anos.
  • A partir do ano 5 a receita anual diminui linearmente em \$50{,}000 por ano (ou seja, \$0{,}05 milhões por ano a menos a cada ano).
  • O aquífero se esgota em 25 anos, então há receitas apenas nos anos 1 a 25.
  • Taxa de juros (desconto): 6\% ao ano.
O que o problema pede:
  • Calcular o valor presente (no instante t=0) da opção de dessalinizar, ou seja, o valor presente das receitas anuais R_t (em dólares) de t=1 até t=25, descontadas a 6\% ao ano.
Informações numéricas úteis (em milhões de dólares, para simplificar contas):
  • Receita anos 1 a 4: R_1=R_2=R_3=R_4=4{,}1.
  • Receita no ano t\ge5: R_t = 4{,}1 - 0{,}05\cdot (t-4). Em particular, R_5=4{,}05, R_{25}=3{,}05.
  • Vamos trabalhar em milhões e no final convertemos para dólares.

Passo 2

Estratégia e fórmulas que usaremos (explicando como funciona passo a passo):
  • O valor presente de fluxos discretos é a soma dos fluxos descontados:
\text{PV}=\sum_{t=1}^{25}\frac{R_t}{(1+i)^t},
onde i=0{,}06 é a taxa anual.
  • Para facilitar, separamos os fluxos em dois blocos:
    1. anos 1 a 4 (anuidade constante);
    2. anos 5 a 25 (progressão aritmética decrescente).
  • Fórmula do valor presente de uma anuidade imediata (pagamentos A em t=1,\dots,n):
\text{PV}_{\text{anu}} = A\cdot\frac{1-(1+i)^{-n}}{i}.
Aqui cada termo \dfrac{A}{(1+i)^t} é somado. Vou justificar rapidamente: isso é a soma de uma progressão geométrica com razão 1/(1+i).
  • Para o bloco aritmético (pagamentos da forma a - d k, k=1,\dots,n), usamos desdobramento em soma geométrica e soma aritmético–geométrica:
\sum_{k=1}^{n}(a - d k)r^k = a\sum_{k=1}^{n}r^k - d\sum_{k=1}^{n} k r^k,
com r=\dfrac{1}{1+i}. As duas somas à direita têm fórmulas fechadas:
\sum_{k=1}^{n} r^k = r\frac{1-r^n}{1-r},
\sum_{k=1}^{n} k r^k = \frac{r\big(1-(n+1)r^n + n r^{n+1}\big)}{(1-r)^2}.
Eu não vou provar essas fórmulas longamente aqui, mas a primeira é a soma geométrica usual; a segunda se obtém diferenciando a soma geométrica em relação a r e multiplicando por r. No exame é suficiente saber essas fórmulas e saber aplicá-las passo a passo.
  • No nosso caso, para as receitas decrescentes tomamos a=4{,}1 (valor que seria se não houvesse decremento) e d=0{,}05 (em milhões), mas atenção: esses pagamentos começam em t=5. É conveniente calcular o valor presente desses pagamentos no instante t=4 (ou seja, descontados apenas os k anos após t=4), usando r=v=\dfrac{1}{1{,}06}, e depois trazer esse valor ao tempo 0 dividindo por (1{,}06)^4.

Passo 3

Cálculo do valor presente (no tempo 0) das receitas dos anos 1 a 4 (anuidade constante de \$4{,}1 mi):
  • Aplicando a fórmula da anuidade com A=4{,}1, n=4, i=0{,}06:
\text{PV}_{1\to4} = 4{,}1\cdot\frac{1-(1{,}06)^{-4}}{0{,}06}.
  • Calculando os termos numéricos:
(1{,}06)^4 \approx 1{,}26247696,\qquad (1{,}06)^{-4}\approx 0{,}79209366.
\frac{1-(1{,}06)^{-4}}{0{,}06} \approx \frac{1-0{,}79209366}{0{,}06}=\frac{0{,}20790634}{0{,}06}\approx 3{,}4651057.
\text{PV}_{1\to4}\approx 4{,}1\times 3{,}4651057 \approx 14{,}206935\\ \text{(milhões)}.õ
Ou seja, as receitas dos quatro primeiros anos valem aproximadamente \$14{,}206{,}935 milhões (em milhões: 14{,}206935 milhões).

Passo 4

Cálculo do valor no tempo t=4 das receitas dos anos 5 a 25 (progressão aritmética decrescente) — detalhando a aplicação das fórmulas:
  • Definimos k=1,\dots,21 como índice para os anos após o ano 4. Assim o pagamento no k-ésimo termo (ano t=4+k) é
a_k = 4{,}1 - 0{,}05\,k.
  • Taxa de desconto por período (ano) em fator: v=\dfrac{1}{1{,}06}\approx 0{,}9433962264.
  • Número de termos: n=21 (porque 25-4=21).
  • Usando as fórmulas:
\text{PV}_{\text{em }t=4}=\sum_{k=1}^{21}(4{,}1-0{,}05 k)\,v^k =4{,}1\sum_{k=1}^{21}v^k - 0{,}05\sum_{k=1}^{21}k v^k.
Agora aplicamos as fórmulas das somas:
\sum_{k=1}^{21}v^k = v\frac{1-v^{21}}{1-v},
\sum_{k=1}^{21}k v^k = \frac{v\big(1-22 v^{21} + 21 v^{22}\big)}{(1-v)^2}.
  • Vamos calcular os valores numéricos intermediários (mantendo unidades em milhões):
    • v=\dfrac{1}{1{,}06}\approx 0{,}9433962264.
    • v^{21}=(1{,}06)^{-21}\approx 0{,}2943261245.
    • v^{22}=v^{21}\cdot v\approx 0{,}277660 (aprox).
    • 1-v\approx 0{,}0566037736.
    • Com isso:
\sum_{k=1}^{21}v^k \approx v\frac{1-v^{21}}{1-v}\approx 11{,}75.
(Esse número sai praticamente exato na conta com os valores acima.)
  • E
\sum_{k=1}^{21}k v^k \approx \frac{v\big(1-22 v^{21} + 21 v^{22}\big)}{(1-v)^2}\approx 104{,}76.
  • Substituindo:
\text{PV}_{\text{em }t=4}\approx 4{,}1\times 11{,}75 - 0{,}05\times 104{,}76.
\text{PV}_{\text{em }t=4}\approx 48{,}175 - 5{,}238 = 42{,}937\\ \text{(milhões)}.õ

Passo 5

Trazer o valor de t=4 para o tempo t=0 e somar com o bloco inicial:
  • Descontar \text{PV}_{\text{em }t=4} quatro anos:
\text{PV}_{0,\text{bloco2}} = \frac{\text{PV}_{\text{em }t=4}}{(1{,}06)^4} \approx \frac{42{,}937}{1{,}26247696}\approx 34{,}016\\ \text{(milhões)}.õ
  • Somando com \text{PV}_{1\to4} calculado no Passo 3:
\text{PV}_{0,\text{total}} \approx 14{,}206935 + 34{,}016 \approx 48{,}222935\\ \text{(milhões)}.õ
Em dólares isso é aproximadamente \$48{,}222{,}935.

Passo 6

Interpretação rápida e dica de prova:
  • O valor presente da opção de dessalinizar corresponde ao somatório dos fluxos descontados; se pedirem arredondamento, normalmente arredonda-se para a casa de milhares ou para o milhão mais próximo.
  • Em prova: separar em blocos (anuidade constante + gradiente aritmético) geralmente simplifica bastante; decorar as fórmulas de soma geométrica e da soma \sum k r^k ajuda muito.

Resposta

\$48{,}223{,}000\\ \text{(aprox.)}

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