3.34 O senhor Antonio está considerando várias opções para o abastecimento de água em seu plano de 50 anos, incluindo a dessalinização. Espera-se que um aqüífero salobro produza água dessalinizada, gerando receitas de
4,1
50.000 ao ano. Se o aqüífero se esgotar completamente em 25 anos, qual é o valor presente da opção de dessalinizar a uma taxa de juros de
ao ano?
Passo 1
O enunciado dá o seguinte cenário (vou listar tudo com calma, pegando os números do enunciado):
- Horizonte do projeto:
anos (mas o aquífero se esgota em anos). - Receita anual esperada inicialmente:
milhões por ano nos primeiros anos. - A partir do ano
a receita anual diminui linearmente em por ano (ou seja, milhões por ano a menos a cada ano). - O aquífero se esgota em
anos, então há receitas apenas nos anos a . - Taxa de juros (desconto):
ao ano.
O que o problema pede:
- Calcular o valor presente (no instante
) da opção de dessalinizar, ou seja, o valor presente das receitas anuais (em dólares) de até , descontadas a ao ano.
Informações numéricas úteis (em milhões de dólares, para simplificar contas):
- Receita anos
a : . - Receita no ano
: . Em particular, , . - Vamos trabalhar em milhões e no final convertemos para dólares.
Passo 2
Estratégia e fórmulas que usaremos (explicando como funciona passo a passo):
- O valor presente de fluxos discretos é a soma dos fluxos descontados:
onde
é a taxa anual.
-
Para facilitar, separamos os fluxos em dois blocos:
- anos
a (anuidade constante); - anos
a (progressão aritmética decrescente).
- anos
-
Fórmula do valor presente de uma anuidade imediata (pagamentos
em ):
Aqui cada termo
é somado. Vou justificar rapidamente: isso é a soma de uma progressão geométrica com razão
.
- Para o bloco aritmético (pagamentos da forma
, ), usamos desdobramento em soma geométrica e soma aritmético–geométrica:
com
. As duas somas à direita têm fórmulas fechadas:
Eu não vou provar essas fórmulas longamente aqui, mas a primeira é a soma geométrica usual; a segunda se obtém diferenciando a soma geométrica em relação a
e multiplicando por
. No exame é suficiente saber essas fórmulas e saber aplicá-las passo a passo.
- No nosso caso, para as receitas decrescentes tomamos
(valor que seria se não houvesse decremento) e (em milhões), mas atenção: esses pagamentos começam em . É conveniente calcular o valor presente desses pagamentos no instante (ou seja, descontados apenas os anos após ), usando , e depois trazer esse valor ao tempo dividindo por .
Passo 3
Cálculo do valor presente (no tempo
) das receitas dos anos 1 a 4 (anuidade constante de
mi):
- Aplicando a fórmula da anuidade com
, , :
- Calculando os termos numéricos:
Ou seja, as receitas dos quatro primeiros anos valem aproximadamente
milhões (em milhões:
milhões).
Passo 4
Cálculo do valor no tempo
das receitas dos anos
a
(progressão aritmética decrescente) — detalhando a aplicação das fórmulas:
- Definimos
como índice para os anos após o ano . Assim o pagamento no -ésimo termo (ano ) é
- Taxa de desconto por período (ano) em fator:
. - Número de termos:
(porque ). - Usando as fórmulas:
Agora aplicamos as fórmulas das somas:
- Vamos calcular os valores numéricos intermediários (mantendo unidades em milhões):
-
. -
. -
(aprox). -
. - Com isso:
-
(Esse número sai praticamente exato na conta com os valores acima.)
- E
- Substituindo:
Passo 5
Trazer o valor de
para o tempo
e somar com o bloco inicial:
- Descontar
quatro anos:
- Somando com
calculado no Passo 3:
Em dólares isso é aproximadamente
.
Passo 6
Interpretação rápida e dica de prova:
- O valor presente da opção de dessalinizar corresponde ao somatório dos fluxos descontados; se pedirem arredondamento, normalmente arredonda-se para a casa de milhares ou para o milhão mais próximo.
- Em prova: separar em blocos (anuidade constante + gradiente aritmético) geralmente simplifica bastante; decorar as fórmulas de soma geométrica e da soma
ajuda muito.