3.35 A Exxon-Mobil planeja vender uma série de poços produtores de petróleo. Espera-se que os poços produzam 100.000 barris de petróleo
ao ano, durante 8 anos, a um preço de venda de
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1 por barril até o ano 8. Quanto uma refinaria independente estaria disposta a pagar pelos poços agora, se a taxa de juros é de
ao ano?
ao ano, durante 8 anos, a um preço de venda de
Passo 1
O enunciado diz o seguinte (vou listar tudo com clareza para não nos perdermos):
- Produção anual esperada:
barris por ano, durante 8 anos (anos a ). - Preço por barril:
- Nos próximos 2 anos (anos
e ): por barril. - A partir do ano 3 até o ano 8: aumenta $1 por barril a cada ano. Ou seja:
- Ano
: , - Ano
: , - …
- Ano
: .
- Ano
- Nos próximos 2 anos (anos
- Taxa de juros (taxa de desconto) anual:
. - Pergunta que o enunciado faz: Quanto uma refinaria independente estaria disposta a pagar pelos poços agora (ou seja, o valor presente hoje) dado esse fluxo de receitas?
Informações numéricas úteis extraídas do enunciado (vou deixar prontas):
- Quantidade por ano:
barris. - Preços por ano e receitas anuais
: -
Passo 2
O que vamos calcular (visão do método, sem resolver ainda):
- Precisamos do valor presente (PV) das receitas anuais
descontadas a . - A fórmula básica de desconto é:
. - Para tornar a conta menos trabalhosa, vou decompor as receitas em duas partes:
- Uma parte constante igual a
por ano, durante 8 anos (anuidade). - Uma parte crescente (o aumento de preço a partir do ano 3): em anos
a os incrementos por barril são dólares respectivamente, o que traduz em fluxos extras .
- Uma parte constante igual a
- Assim, PV total = PV da anuidade fixa de
por 8 anos + PV dos fluxos extras ( vezes a sequência nos anos 3–8). - Vou explicar e usar duas fórmulas: (i) fator de valor presente de anuidade e (ii) soma com progressão aritmética multiplicada por fatores de desconto (há uma fórmula fechada para
).
Passo 3
Relembrando as fórmulas que vamos usar (mini-aula):
- Fator de desconto por um ano a
: . Esse é o mesmo que . - Valor presente de uma anuidade (pagamentos iguais
por anos) a taxa é
Aqui
é o pagamento por período (cada ano),
é a taxa anual (no nosso caso
) e
é o número de anos.
- Soma útil para um gradiente aritmético descontado: para
,
Essa soma aparece quando os pagamentos seguem uma sequência aritmética multiplicada por potências
(que são os fatores de desconto se
).
Vou aplicar essas fórmulas ao caso concreto.
Passo 4
Calcular o PV da anuidade constante
por 8 anos a
.
- Primeiro, a razão de desconto
. - O fator de anuidade (vou chamar de
) é
- Vou calcular numericamente
e seu inverso: -
(produto sucessivo de 1,12 oito vezes). - Logo
(arredondado).
-
- Então
- Portanto o PV da anuidade é
(Arredondei durante contas; vou manter algumas casas significativas e depois juntar com a parte crescente.)
Passo 5
Agora a parte crescente (o extra causado pelo aumento de preço).
- Os pagamentos extras nos anos
a são (em dólares): . - Ou seja, para
, no ano o extra é . - O PV desses extras é
- Factorizando
e , temos
com
.
- Agora aplicamos a fórmula da soma
com e :
- Vou calcular os termos numéricos:
-
. -
. -
(usar potências já calculadas). -
. -
e
.
-
- Agora o numerador da fórmula da soma:
-
. - Calcule:
, . - Assim
. - Multiplicando por
: .
-
- Dividindo pelo
:
- Finalmente,
- Com
obtemos
Passo 6
Somando as duas partes para obter o valor presente total:
-
-
- Logo o valor presente total é aproximadamente
(Pequenas diferenças em centena ou milhares surgem por arredondamentos intermediários; o resultado final pode ser arredondado com segurança.)
Passo 7
Interpretação e confirmação rápida (checagem plausível):
- Faz sentido que o PV seja da ordem de dezenas de milhões, já que as receitas anuais estão entre
milhões e milhões por 8 anos; sem desconto a soma seria aproximadamente milhões. Descontando a ao ano, o PV fica sensivelmente menor, aqui perto de milhões — coerente. - A decomposição em anuidade + gradiente facilita a conta e reduz erros manuais comparado a descontar termo a termo.
Resposta
$14{,}966{,}331