3.35 A Exxon-Mobil planeja vender uma série de poços produtores de petróleo. Espera-se que os poços produzam 100.000 barris de petróleo
ao ano, durante 8 anos, a um preço de venda de \ 28 por barril, durante os próximos 2 anos. Nos períodos subseqüentes, há a projeção de aumentar o preço em \óíüáçãç 1 por barril até o ano 8. Quanto uma refinaria independente estaria disposta a pagar pelos poços agora, se a taxa de juros é de 12 \% ao ano?

Passo 1

O enunciado diz o seguinte (vou listar tudo com clareza para não nos perdermos):
  • Produção anual esperada: \,100{,}000 barris por ano, durante 8 anos (anos 1 a 8).
  • Preço por barril:
    • Nos próximos 2 anos (anos 1 e 2): \$28 por barril.
    • A partir do ano 3 até o ano 8: aumenta $1 por barril a cada ano. Ou seja:
      • Ano 3: \$29,
      • Ano 4: \$30,
      • Ano 8: \$34.
  • Taxa de juros (taxa de desconto) anual: \,12\%.
  • Pergunta que o enunciado faz: Quanto uma refinaria independente estaria disposta a pagar pelos poços agora (ou seja, o valor presente hoje) dado esse fluxo de receitas?
Informações numéricas úteis extraídas do enunciado (vou deixar prontas):
  • Quantidade por ano: \,Q = 100{,}000 barris.
  • Preços por ano e receitas anuais \text{(CF}_t):
    • \text{Ano }1:\; p_1 = 28 \Rightarrow \text{CF}_1 = Q\cdot 28 = 2{,}800{,}000
    • \text{Ano }2:\; p_2 = 28 \Rightarrow \text{CF}_2 = 2{,}800{,}000
    • \text{Ano }3:\; p_3 = 29 \Rightarrow \text{CF}_3 = 2{,}900{,}000
    • \text{Ano }4:\; p_4 = 30 \Rightarrow \text{CF}_4 = 3{,}000{,}000
    • \text{Ano }5:\; p_5 = 31 \Rightarrow \text{CF}_5 = 3{,}100{,}000
    • \text{Ano }6:\; p_6 = 32 \Rightarrow \text{CF}_6 = 3{,}200{,}000
    • \text{Ano }7:\; p_7 = 33 \Rightarrow \text{CF}_7 = 3{,}300{,}000
    • \text{Ano }8:\; p_8 = 34 \Rightarrow \text{CF}_8 = 3{,}400{,}000

Passo 2

O que vamos calcular (visão do método, sem resolver ainda):
  • Precisamos do valor presente (PV) das receitas anuais \text{CF}_t descontadas a 12\%.
  • A fórmula básica de desconto é: \displaystyle \text{PV}=\sum_{t=1}^{8}\frac{\text{CF}_t}{(1+0,12)^{t}}.
  • Para tornar a conta menos trabalhosa, vou decompor as receitas em duas partes:
    1. Uma parte constante igual a \,Q\cdot 28 = 2{,}800{,}000 por ano, durante 8 anos (anuidade).
    2. Uma parte crescente (o aumento de preço a partir do ano 3): em anos 3 a 8 os incrementos por barril são 1,2,3,4,5,6 dólares respectivamente, o que traduz em fluxos extras \,100{,}000\times 1,100{,}000\times 2,\dots,100{,}000\times 6.
  • Assim, PV total = PV da anuidade fixa de 2{,}800{,}000 por 8 anos + PV dos fluxos extras ( 100{,}000 vezes a sequência 1,2,\dots,6 nos anos 3–8).
  • Vou explicar e usar duas fórmulas: (i) fator de valor presente de anuidade e (ii) soma com progressão aritmética multiplicada por fatores de desconto (há uma fórmula fechada para \sum k x^k).

Passo 3

Relembrando as fórmulas que vamos usar (mini-aula):
  • Fator de desconto por um ano a 12\%: r=\dfrac{1}{1{,}12}. Esse r é o mesmo que (1+0,12)^{-1}.
  • Valor presente de uma anuidade (pagamentos iguais A por n anos) a taxa i é
\text{PV}_{\text{anuidade}} = A\cdot \frac{1-(1+i)^{-n}}{i}.
Aqui A é o pagamento por período (cada ano), i é a taxa anual (no nosso caso i=0,12) e n é o número de anos.
  • Soma útil para um gradiente aritmético descontado: para x\neq 1,
\sum_{k=1}^{n} k x^{k} = \frac{x\big(1-(n+1)x^{n} + n x^{n+1}\big)}{(1-x)^{2}}.
Essa soma aparece quando os pagamentos seguem uma sequência aritmética multiplicada por potências x^{k} (que são os fatores de desconto se x=r).
Vou aplicar essas fórmulas ao caso concreto.

Passo 4

Calcular o PV da anuidade constante A = 2{,}800{,}000 por 8 anos a i=0{,}12.
  • Primeiro, a razão de desconto r = \dfrac{1}{1{,}12}.
  • O fator de anuidade (vou chamar de \text{PVIFA}) é
\text{PVIFA} = \frac{1-(1+0{,}12)^{-8}}{0{,}12}.
  • Vou calcular numericamente (1{,}12)^{8} e seu inverso:
    • (1{,}12)^{8} \approx 2{,}4759631762948096 (produto sucessivo de 1,12 oito vezes).
    • Logo (1{,}12)^{-8} \approx \dfrac{1}{2{,}4759631762948096}\approx 0{,}403141 (arredondado).
  • Então
\text{PVIFA} \approx \frac{1-0{,}403141}{0{,}12} = \frac{0{,}596859}{0{,}12}\approx 4{,}973825.
  • Portanto o PV da anuidade é
\text{PV}_{\text{base}} = 2{,}800{,}000 \times 4{,}973825 \approx 13{,}926{,}710.
(Arredondei durante contas; vou manter algumas casas significativas e depois juntar com a parte crescente.)

Passo 5

Agora a parte crescente (o extra causado pelo aumento de preço).
  • Os pagamentos extras nos anos 3 a 8 são (em dólares): 100{,}000\times 1, 100{,}000\times 2, \dots, 100{,}000\times 6.
  • Ou seja, para k=1,\dots,6, no ano t=k+2 o extra é 100{,}000\cdot k.
  • O PV desses extras é
\text{PV}_{\text{extra}}=\sum_{k=1}^{6}\frac{100{,}000\cdot k}{(1{,}12)^{k+2}}.
  • Factorizando 100{,}000 e r^{2}=(1{,}12)^{-2}, temos
\text{PV}_{\text{extra}} = 100{,}000\cdot r^{2}\sum_{k=1}^{6} k r^{k},
com r=\dfrac{1}{1{,}12}.
  • Agora aplicamos a fórmula da soma \sum_{k=1}^{n} k x^{k} com x=r e n=6:
\sum_{k=1}^{6} k r^{k} = \frac{r\big(1-7 r^{6}+6 r^{7}\big)}{(1-r)^{2}}.
  • Vou calcular os termos numéricos:
    • r=\dfrac{1}{1{,}12}\approx 0{,}8928571428571429.
    • r^{2}\approx 0{,}7971938775510204.
    • r^{6}=(1{,}12)^{-6}\approx 0{,}506631896 (usar potências já calculadas).
    • r^{7}=r^{6}\cdot r\approx 0{,}506631896\times 0{,}892857142857\approx 0{,}4523499.
    • 1-r = 1-0{,}8928571428571429 = 0{,}1071428571428571 e
      (1-r)^{2} \approx 0{,}0114795918367347.
  • Agora o numerador da fórmula da soma:
    • 1 - 7r^{6} + 6 r^{7} \approx 1 - 7(0{,}506631896) + 6(0{,}4523499).
    • Calcule: 7r^{6}\approx 3{,}546423272, 6r^{7}\approx 2{,}7140994.
    • Assim 1 - 3{,}546423272 + 2{,}7140994 \approx 0{,}167676128.
    • Multiplicando por r: r\cdot(1 - 7r^{6} + 6 r^{7}) \approx 0{,}892857142857\cdot 0{,}167676128 \approx 0{,}149736.
  • Dividindo pelo (1-r)^{2}:
\sum_{k=1}^{6} k r^{k} \approx \frac{0{,}149736}{0{,}0114795918367347}\approx 13{,}041.
  • Finalmente,
\text{PV}_{\text{extra}} = 100{,}000 \times r^{2} \times 13{,}041.
  • Com r^{2}\approx 0{,}7971938775510204 obtemos
\text{PV}_{\text{extra}} \approx 100{,}000 \times 0{,}7971938776 \times 13{,}041 \approx 1{,}039{,}621.

Passo 6

Somando as duas partes para obter o valor presente total:
  • \text{PV}_{\text{base}} \approx 13{,}926{,}710
  • \text{PV}_{\text{extra}} \approx 1{,}039{,}621
  • Logo o valor presente total é aproximadamente
\text{PV}_{\text{total}} \approx 13{,}926{,}710 + 1{,}039{,}621 = 14{,}966{,}331.
(Pequenas diferenças em centena ou milhares surgem por arredondamentos intermediários; o resultado final pode ser arredondado com segurança.)

Passo 7

Interpretação e confirmação rápida (checagem plausível):
  • Faz sentido que o PV seja da ordem de dezenas de milhões, já que as receitas anuais estão entre \$2{,}8 milhões e \$3{,}4 milhões por 8 anos; sem desconto a soma seria aproximadamente \$25{,}4 milhões. Descontando a 12\% ao ano, o PV fica sensivelmente menor, aqui perto de \$15 milhões — coerente.
  • A decomposição em anuidade + gradiente facilita a conta e reduz erros manuais comparado a descontar termo a termo.

Resposta

$14{,}966{,}331

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