Calcule o valor anual (anos 1 a 7) da seguinte série de desembolsos. Considere
ao ano.
\begin{tabular}{cccc}
Ano & Desembolso, $& Ano & Desembolso, $ \
\hline 0 & 5.000 & 4 & 5.000 \
1 & 3.500 & 5 & 5.000 \
2 & 3.500 & 6 & 5.000 \
3 & 3.500 & 7 & 5.000 \
\hline
Ano & Desembolso, $& Ano & Desembolso, $ \
\hline 0 & 5.000 & 4 & 5.000 \
1 & 3.500 & 5 & 5.000 \
2 & 3.500 & 6 & 5.000 \
3 & 3.500 & 7 & 5.000 \
\hline
Passo 1
O que o enunciado dá e o que pede:
- Taxa de juros anual:
(ou ). - Série de desembolsos (valores positivos representam saídas):
-
- O que é pedido: calcular o valor anual uniforme (ou equivalente anual)
para os anos 1 a 7 — isto é, encontrar um único desembolso anual (do ano 1 ao ano 7 inclusive) que seja equivalente, à taxa , à série dada (incluindo o desembolso em ).
Passo 2
Conceitos e fórmulas que vamos usar (explicação didática):
- Valor presente (no instante
) de um pagamento no ano é . Isso vem da ideia de descontar um valor futuro para o presente usando a taxa de juros. - Para uma série uniforme de
pagamentos anuais iguais (com primeiro pagamento no final do ano 1), o fator que transforma em valor presente é Aqui: -
é o valor presente no instante 0 da série uniforme, -
é o valor anual da série, -
é o número de anos, -
é a taxa (em decimal).
-
- O fator inverso (recuperação de capital) que transforma um valor presente
em um valor anual uniforme é Esse fator é muito útil: uma vez que encontramos o valor presente total dos desembolsos, multiplicamos por para obter o correspondente para . - Estratégia prática: somar os valores presentes dos grupos de pagamentos (agrupando os três de
e os quatro de ), somar o já em , obter e, por fim, aplicar o fator para .
Passo 3
Calcular o valor presente dos três pagamentos de
nos anos 1 a 3 usando o fator
para
.
- Primeiro, calcule
. Numericamente: - O fator
para : - Valor presente dos três pagamentos de
:
Passo 4
Calcular o valor presente dos quatro pagamentos de
nos anos 4 a 7.
- Primeiro, compute o fator
para :
- Esse valor dá o
no instante imediatamente anterior ao primeiro pagamento da série. Como os pagamentos estão em anos 4–7, o calculado fica no instante . Então: - Agora descontar esse
de para : multiplicar por :
Passo 5
Somar todos os valores presentes para obter o valor presente total
.
-
. -
(do Passo 3). -
(do Passo 4).
Somando:
(Arredondando,
.)
Passo 6
Converter o valor presente total em um valor anual uniforme
para
usando o fator de recuperação de capital.
- Primeiro, calcule
. Usando a forma exata obtemos numericamente - O fator
para é (alternativamente, , mesmo resultado.) - Finalmente:
Arredondando para centavos:
.