Calcule o valor anual (anos 1 a 7) da seguinte série de desembolsos. Considere i=12 \% ao ano.
\begin{tabular}{cccc}
Ano & Desembolso, $& Ano & Desembolso, $ \
\hline 0 & 5.000 & 4 & 5.000 \
1 & 3.500 & 5 & 5.000 \
2 & 3.500 & 6 & 5.000 \
3 & 3.500 & 7 & 5.000 \
\hline

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede:
  • Taxa de juros anual: i=12\% (ou i=0,12).
  • Série de desembolsos (valores positivos representam saídas):
    • C_0 = 5{.}000
    • C_1 = 3{.}500
    • C_2 = 3{.}500
    • C_3 = 3{.}500
    • C_4 = 5{.}000
    • C_5 = 5{.}000
    • C_6 = 5{.}000
    • C_7 = 5{.}000
  • O que é pedido: calcular o valor anual uniforme (ou equivalente anual) A para os anos 1 a 7 — isto é, encontrar um único desembolso anual A (do ano 1 ao ano 7 inclusive) que seja equivalente, à taxa i=12\%, à série dada (incluindo o desembolso em t=0).

Passo 2

Conceitos e fórmulas que vamos usar (explicação didática):
  • Valor presente (no instante t=0) de um pagamento C_k no ano k é \dfrac{C_k}{(1+i)^k}. Isso vem da ideia de descontar um valor futuro para o presente usando a taxa de juros.
  • Para uma série uniforme de n pagamentos anuais iguais A (com primeiro pagamento no final do ano 1), o fator que transforma A em valor presente P é \frac{P}{A}=\frac{1-(1+i)^{-n}}{i}.Aqui:
    • P é o valor presente no instante 0 da série uniforme,
    • A é o valor anual da série,
    • n é o número de anos,
    • i é a taxa (em decimal).
  • O fator inverso (recuperação de capital) que transforma um valor presente P em um valor anual uniforme A é \frac{A}{P}=\frac{i(1+i)^n}{(1+i)^n-1}=\frac{i}{1-(1+i)^{-n}}.Esse fator é muito útil: uma vez que encontramos o valor presente total P_{\text{total}} dos desembolsos, multiplicamos por \dfrac{A}{P} para obter o A correspondente para n=7.
  • Estratégia prática: somar os valores presentes dos grupos de pagamentos (agrupando os três de 3{.}500 e os quatro de 5{.}000), somar o C_0 já em t=0, obter P_{\text{total}} e, por fim, aplicar o fator \dfrac{A}{P} para n=7.

Passo 3

Calcular o valor presente dos três pagamentos de 3{.}500 nos anos 1 a 3 usando o fator P/A para n=3.
  • Primeiro, calcule v^3=(1+i)^{-3}=(1{,}12)^{-3}. Numericamente: (1{,}12)^3 = 1{,}404928\quad\Rightarrow\quad (1{,}12)^{-3}=0{,}7117803930131004.
  • O fator P/A para n=3: \frac{P}{A}=\frac{1-(1+i)^{-3}}{i}=\frac{1-0{,}7117803930131004}{0{,}12}=2{,}401830058224163.
  • Valor presente dos três pagamentos de 3{.}500: P_{1\mbox{–}3}=3{.}500\cdot 2{,}401830058224163 = 8{.}406{,}405203784571.

Passo 4

Calcular o valor presente dos quatro pagamentos de 5{.}000 nos anos 4 a 7.
  • Primeiro, compute o fator P/A para n=4: (1{,}12)^4=1{,}57351936\quad\Rightarrow\quad (1{,}12)^{-4}=0{,}6355179797341958,
\frac{P}{A}=\frac{1-(1+i)^{-4}}{i}=\frac{1-0{,}6355179797341958}{0{,}12}=3{,}037350168881709.
  • Esse valor dá o P no instante imediatamente anterior ao primeiro pagamento da série. Como os pagamentos estão em anos 4–7, o P calculado fica no instante t=3. Então: P_{t=3}(\text{anos }4\mbox{–}7)=5{.}000\cdot 3{,}037350168881709 = 15{.}186{,}750844408545.
  • Agora descontar esse P de t=3 para t=0: multiplicar por (1+i)^{-3}=0{,}7117803930131004: P_{4\mbox{–}7}=15{.}186{,}750844408545\cdot 0{,}7117803930131004 = 10{.}806{,}382769024718.

Passo 5

Somar todos os valores presentes para obter o valor presente total P_{\text{total}}.
  • P_0 = C_0 = 5{.}000.
  • P_{1\mbox{–}3} = 8{.}406{,}405203784571 (do Passo 3).
  • P_{4\mbox{–}7} = 10{.}806{,}382769024718 (do Passo 4).
Somando:
P_{\text{total}} = 5{.}000 + 8{.}406{,}405203784571 + 10{.}806{,}382769024718 = 24{.}212{,}78797280929.
(Arredondando, P_{\text{total}}\approx 24{.}212{,}79.)

Passo 6

Converter o valor presente total em um valor anual uniforme A para n=7 usando o fator de recuperação de capital.
  • Primeiro, calcule (1+i)^7. Usando a forma exata (1{,}12)^7=(28/25)^7 obtemos numericamente (1{,}12)^7 \approx 2{,}210729148\quad\Rightarrow\quad (1{,}12)^{-7}\approx 0{,}452349249410.
  • O fator A/P para n=7 é \frac{A}{P}=\frac{i}{1-(1+i)^{-7}}=\frac{0{,}12}{1-0{,}452349249410}=\frac{0{,}12}{0{,}54765075059}\approx 0{,}219136.(alternativamente, \dfrac{A}{P}=\dfrac{0{,}12\cdot(1{,}12)^7}{(1{,}12)^7-1}, mesmo resultado.)
  • Finalmente: A = P_{\text{total}}\cdot\frac{A}{P}=24{.}212{,}78797280929\cdot 0{,}219136 \approx 5{.}305{,}893505209537.
Arredondando para centavos: A \approx 5{.}305{,}89.

Resposta

A \approx \mathrm{R}\$\,5.305,89

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