(35 Pontos) Considere a seguinte integral definida
I=\int_{\frac{-\pi}{4}}^{\frac{3 \pi}{4}}[\sin (x)+\cos (x)] d x
e um conjunto de 3 pontos igualmente espaçados dados por x_{0}, x_{1} e x_{2} onde x_{0}=\frac{-\pi}{4} e x_{2}=\frac{3 \pi}{4}. Sendo assim:
(a) aproxime o valor de I pela regra do trapézio repetida usando todos os pontos;
(b) aproxime o valor de I pela regra 1 / 3 de Simpson simples;
(c) considere que M_{2}=1.41421 e calcule a estimativa para o erro usando a regra do trapézio repetida se fossem utilizados 31 pontos para a integração numérica.
Passo 1
O enunciado pede para aproximar a integral
I = \int_{-\pi/4}^{3\pi/4} \bigl[\sin(x)+\cos(x)\bigr]\,dx
usando (a) a regra do trapézio repetida com três pontos igualmente espaçados x_{0},x_{1},x_{2}, (b) a regra 1/3 de Simpson simples sobre esses mesmos três pontos, e (c) estimar o erro da regra do trapézio repetida se usarmos 31 pontos. Para isso vamos precisar saber o espaçamento h, avaliar f(x)=\sin(x)+\cos(x) nos pontos e usar as fórmulas conhecidas dessas regras e do limite de erro do trapézio.
Passo 2
Como x_{0}=-\pi/4 e x_{2}=3\pi/4 há dois subintervalos iguais, logo
x_{2}-x_{0} = \pi,\quad h = \frac{x_{2}-x_{0}}{2} = \frac{\pi}{2}.