(35 Pontos) Considere a seguinte integral definida
I=\int_{\frac{-\pi}{4}}^{\frac{3 \pi}{4}}[\sin (x)+\cos (x)] d x
e um conjunto de 3 pontos igualmente espaçados dados por x_{0}, x_{1} e x_{2} onde x_{0}=\frac{-\pi}{4} e x_{2}=\frac{3 \pi}{4}. Sendo assim:
(a) aproxime o valor de I pela regra do trapézio repetida usando todos os pontos;
(b) aproxime o valor de I pela regra 1 / 3 de Simpson simples;
(c) considere que M_{2}=1.41421 e calcule a estimativa para o erro usando a regra do trapézio repetida se fossem utilizados 31 pontos para a integração numérica.

Passo 1

O enunciado pede para aproximar a integral
I = \int_{-\pi/4}^{3\pi/4} \bigl[\sin(x)+\cos(x)\bigr]\,dx
usando (a) a regra do trapézio repetida com três pontos igualmente espaçados x_{0},x_{1},x_{2}, (b) a regra 1/3 de Simpson simples sobre esses mesmos três pontos, e (c) estimar o erro da regra do trapézio repetida se usarmos 31 pontos. Para isso vamos precisar saber o espaçamento h, avaliar f(x)=\sin(x)+\cos(x) nos pontos e usar as fórmulas conhecidas dessas regras e do limite de erro do trapézio.

Passo 2

Como x_{0}=-\pi/4 e x_{2}=3\pi/4 há dois subintervalos iguais, logo
x_{2}-x_{0} = \pi,\quad h = \frac{x_{2}-x_{0}}{2} = \frac{\pi}{2}.
Isso dá
x_{1} = x_{0} + h = -\frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{2} = \frac{\pi}{4}.
Agora avaliamos
f(x_{0}) = \sin\bigl(-\tfrac{\pi}{4}\bigr)+\cos\bigl(-\tfrac{\pi}{4}\bigr) = -\frac{\sqrt2}{2} + \frac{\sqrt2}{2} = 0,
f(x_{1}) = \sin\bigl(\tfrac{\pi}{4}\bigr)+\cos\bigl(\tfrac{\pi}{4}\bigr) = \frac{\sqrt2}{2} + \frac{\sqrt2}{2} = \sqrt2,
f(x_{2}) = \sin\bigl(\tfrac{3\pi}{4}\bigr)+\cos\bigl(\tfrac{3\pi}{4}\bigr) = \frac{\sqrt2}{2} - \frac{\sqrt2}{2} = 0.

Passo 3

A regra do trapézio repetida com 2 subintervalos é
T = h\Bigl(\tfrac12f(x_{0}) + f(x_{1}) + \tfrac12f(x_{2})\Bigr).
Substituindo h=\pi/2 e as avaliações, vem
T = \frac{\pi}{2}\Bigl(0 + \sqrt2 + 0\Bigr) = \frac{\pi\sqrt2}{2}.

Passo 4

A regra 1/3 de Simpson simples sobre dois subintervalos é
S = \frac{h}{3}\bigl(f(x_{0}) + 4f(x_{1}) + f(x_{2})\bigr).
Com h=\pi/2 e as mesmas avaliações,
S = \frac{\pi/2}{3}\bigl(0 + 4\sqrt2 + 0\bigr) = \frac{4\sqrt2\,\pi}{6} = \frac{2\sqrt2\,\pi}{3}.

Passo 5

Para n=31 pontos temos 30 subintervalos e
h = \frac{x_{2}-x_{0}}{30} = \frac{\pi}{30}.
A fórmula de cota de erro do trapézio repetido diz
\bigl|E_{T}\bigr| \le \frac{b-a}{12}\,h^{2}\,M_{2},
onde b-a=\pi e M_{2}=\max|f''(x)|. Aqui f(x)=\sin x+\cos x implica
f''(x) = -\sin x - \cos x,\quad |f''(x)|\le \sqrt2 = 1,41421.
Logo
\bigl|E_{T}\bigr| \le \frac{\pi}{12}\,\Bigl(\frac{\pi}{30}\Bigr)^{2}\,1,41421 = \frac{\pi^{3}}{12\cdot 900}\,1,41421 = \frac{\pi^{3}}{10800}\,1,41421.
Numericamente, isso dá aproximadamente 0,00406.

Resposta

(a) \displaystyle T = \frac{\pi\sqrt2}{2}\approx 2,2214.
(b) \displaystyle S = \frac{2\sqrt2\,\pi}{3}\approx 2,9619.
(c) Estimativa de erro
\bigl|E_{T}\bigr| \le \frac{\pi^{3}}{10800}\,1,41421\approx 0,00406.

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