(35 Pontos) Considere a seguinte integral definida
e um conjunto de 3 pontos igualmente espaçados
, e
tal que
e
. Sendo assim:
(a) aproxime
valor de
pela regra
de Simpson simples;
(b) aproxime o valor de
pela regra do trapézio repetida usando todos os pontos;
(c) considere que
e calcule a estimativa para o erro usando a regra do trapézio repetida se fossem utilizados 31 pontos para a integração numérica.
(a) aproxime
(b) aproxime o valor de
(c) considere que
Passo 1
O enunciado pede a aproximação da integral
em três partes:
– (a) usando a regra de Simpson simples com três pontos
;
– (b) usando a regra do trapézio repetida nos mesmos três pontos;
– (c) estimar o erro da regra do trapézio repetida quando se usarem 31 pontos (30 subintervalos), sabendo que .
– (a) usando a regra de Simpson
– (b) usando a regra do trapézio repetida nos mesmos três pontos;
– (c) estimar o erro da regra do trapézio repetida quando se usarem 31 pontos (30 subintervalos), sabendo que
Passo 2
Para ambas as regras temos o passo
e os pontos
Calculemos os valores da função
A regra de Simpson simples diz
Numericamente,
, logo
Passo 3
A regra do trapézio repetida com estes três pontos é
Passo 4
Para 31 pontos temos
subintervalos e
O termo de erro da regra do trapézio repetida satisfaz
Calculando:
logo
Resposta
(a)
(b)
(c)
(b)
(c)