(35 Pontos) Considere a seguinte integral definida I=\int_{0}^{\pi / 2}[\sin (x)+x \cos (x)] d x e um conjunto de 3 pontos igualmente espaçados x_{0}, x_{1}, e x_{2} tal que x_{0}=0 e x_{2}=\pi / 2. Sendo assim:
(a) aproxime o valor de I pela regra 1 / 3 de Simpson simples;
(b) aproxime o valor de I pela regra do trapézio repetida usando todos os pontos;
(c) considere que M_{2}=1.6 e calcule a estimativa para o erro usando a regra do trapézio repetida se fossem utilizados 31 pontos para a integração numérica.

Passo 1

O enunciado pede a aproximação da integral
I = \int_{0}^{\pi/2}\bigl[\sin(x)+x\cos(x)\bigr]\,dx
em três partes:
– (a) usando a regra de Simpson 1/3 simples com três pontos x_0=0,\;x_1,\;x_2=\pi/2;
– (b) usando a regra do trapézio repetida nos mesmos três pontos;
– (c) estimar o erro da regra do trapézio repetida quando se usarem 31 pontos (30 subintervalos), sabendo que M_2=\max|f''(x)|=1,6.

Passo 2

Para ambas as regras temos o passo
h = \frac{x_2-x_0}{2} = \frac{\pi/2-0}{2} = \frac{\pi}{4},
e os pontos
x_0=0,\quad x_1=\frac{\pi}{4},\quad x_2=\frac{\pi}{2}.
Calculemos os valores da função
f(x)=\sin(x)+x\cos(x):
f_0=f(0)=0,\quad f_1=f\Bigl(\tfrac{\pi}{4}\Bigr) =\frac{\sqrt2}{2}+\frac{\pi}{4}\,\frac{\sqrt2}{2} =\frac{\sqrt2}{2}\Bigl(1+\tfrac{\pi}{4}\Bigr), \quad f_2=f\Bigl(\tfrac{\pi}{2}\Bigr)=1.
A regra de Simpson simples diz
I_S=\frac{x_2-x_0}{6}\bigl(f_0+4f_1+f_2\bigr) =\frac{\pi/2}{6}\Bigl(0+4\cdot\frac{\sqrt2}{2}(1+\tfrac{\pi}{4})+1\Bigr).
Numericamente, \frac{\sqrt2}{2}(1+\tfrac{\pi}{4})\approx1{,}262, logo
I_S\approx\frac{\pi}{12}\bigl(4\cdot1{,}262+1\bigr) \approx1{,}5835.

Passo 3

A regra do trapézio repetida com estes três pontos é
I_T = h\Bigl(\tfrac{f_0}{2}+f_1+\tfrac{f_2}{2}\Bigr) =\frac{\pi}{4}\Bigl(0+\;1{,}262+\tfrac{1}{2}\Bigr) =\frac{\pi}{4}\cdot1{,}762 \approx1{,}3850.

Passo 4

Para 31 pontos temos n=30 subintervalos e
h=\frac{\pi/2-0}{30}=\frac{\pi}{60}.
O termo de erro da regra do trapézio repetida satisfaz
|E_T|\le\frac{x_2-x_0}{12}\,h^2\,M_2 =\frac{\pi/2}{12}\Bigl(\frac{\pi}{60}\Bigr)^{\!2}\times1{,}6.
Calculando:
\frac{\pi/2}{12}=\frac{\pi}{24}\approx0{,}1309, \quad \Bigl(\frac{\pi}{60}\Bigr)^{2}\approx0{,}0027416,
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|E_T|\le0{,}1309\times0{,}0027416\times1{,}6 \approx5{,}7\times10^{-4}.

Resposta

(a) I_S\approx1{,}5835
(b) I_T\approx1{,}3850
(c) \displaystyle |E_T|\le5,7\times10^{-4}

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