(30 Pontos) Determine a reta que melhor aproxima f(x)=\cos (x) em [0,3] no sentido dos mínimos quadrados. Isto é:
(a) calcule a matriz do sistema de equações normais;
(b) calcule o vetor do sistema de equações normais utilizando quadratura de Gauss com 2 pontos;
(c) resolva o sistema de equações normais;
(d) comente a respeito de erros no cálculo das integrais da matriz e do vetor do sistema.
Passo 1
O enunciado pede para aproximar em mínimos quadrados a função
f(x)=\cos(x)
no intervalo [0,3] por uma reta
p(x)=a_0 + a_1 x.
O método envolve montar o sistema de equações normais cuja matriz e vetor dependem de integrais sobre [0,3] e, em (b), calcular essas integrais do vetor usando fórmula de Gauss de 2 pontos.
Passo 2
As equações normais vêm de exigir que o resíduo seja ortogonal a 1 e a x. Isso gera o sistema
Para aproximá-las por Gauss de 2 pontos, fazemos a mudança x=\tfrac32\,t+\tfrac32, com t\in[-1,1]. Os nós são t=\pm\tfrac1{\sqrt3}, pesos w=1, e o fator jacobiano é \tfrac32. Assim,
As integrais da matriz foram calculadas exatamente, sem erro.
As entradas do vetor envolveram funções não polinomiais \cos x e x\cos x; a regra de Gauss de 2 pontos é exata só para polinômios até grau 3, logo há erro de quadratura.
Comparando com os valores exatos \int_0^3\cos x\,dx=\sin(3)\approx0{,}1411 e \int_0^3 x\cos x\,dx=3\sin3+\cos3-1\approx-1{,}5667,
vemos que b_1 ficou com erro de \approx-0{,}0038 e b_2 com erro de \approx-0{,}2032, o que afeta os coeficientes finais. Para maior precisão seria preciso mais pontos de quadratura.