(30 Pontos) Determine a reta que melhor aproxima f(x)=\cos (x) em [0,3] no sentido dos mínimos quadrados. Isto é:
(a) calcule a matriz do sistema de equações normais;
(b) calcule o vetor do sistema de equações normais utilizando quadratura de Gauss com 2 pontos;
(c) resolva o sistema de equações normais;
(d) comente a respeito de erros no cálculo das integrais da matriz e do vetor do sistema.

Passo 1

O enunciado pede para aproximar em mínimos quadrados a função
f(x)=\cos(x)
no intervalo [0,3] por uma reta
p(x)=a_0 + a_1 x.
O método envolve montar o sistema de equações normais cuja matriz e vetor dependem de integrais sobre [0,3] e, em (b), calcular essas integrais do vetor usando fórmula de Gauss de 2 pontos.

Passo 2

As equações normais vêm de exigir que o resíduo seja ortogonal a 1 e a x. Isso gera o sistema
\begin{pmatrix} \displaystyle\int_0^3 1\cdot1\,dx & \displaystyle\int_0^3 1\cdot x\,dx \\[1em] \displaystyle\int_0^3 x\cdot1\,dx & \displaystyle\int_0^3 x\cdot x\,dx \end{pmatrix} \begin{pmatrix}a_0\a_1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \displaystyle\int_0^3 \cos(x)\,dx\\[6pt] \displaystyle\int_0^3 x\cos(x)\,dx \end{pmatrix}.
Calculando as integrais exatas da matriz:
\int_0^3 1\,dx = 3,\quad \int_0^3 x\,dx = \tfrac{3^2}{2}=4{,}5,\quad \int_0^3 x^2\,dx = \tfrac{3^3}{3}=9.
Logo a matriz das normais é
A = \begin{pmatrix} 3 & 4{,}5\\\\ 4{,}5 & 9 \end{pmatrix}.]

Passo 3

O vetor das normais tem entradas
b_1 = \int_0^3 \cos(x)\,dx, \quad b_2 = \int_0^3 x\cos(x)\,dx.
Para aproximá-las por Gauss de 2 pontos, fazemos a mudança x=\tfrac32\,t+\tfrac32, com t\in[-1,1]. Os nós são t=\pm\tfrac1{\sqrt3}, pesos w=1, e o fator jacobiano é \tfrac32. Assim,
b_1 \approx \frac32\Bigl[\cos(x_1)+\cos(x_2)\Bigr], \quad b_2 \approx \frac32\Bigl[x_1\cos(x_1)+x_2\cos(x_2)\Bigr],
onde
x_{1,2} = \tfrac32\Bigl(1\pm\tfrac1{\sqrt3}\Bigr).

Passo 4

Calculando numericamente:
x_1\approx2{,}366,\quad \cos(x_1)\approx -0{,}7144, \quad x_2\approx0{,}634,\quad \cos(x_2)\approx 0{,}8059.
Logo
b_1 \approx 1{,}5\bigl(-0{,}7144+0{,}8059\bigr)\approx0{,}1373, \quad b_2 \approx 1{,}5\bigl(2{,}366\cdot(-0{,}7144)+0{,}634\cdot0{,}8059\bigr)\approx -1{,}7699.
Assim o sistema aproximado é
\begin{pmatrix}3 & 4{,}5\\\ 4{,}5 & 9\end{pmatrix} \begin{pmatrix}a_0\a_1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0{,}1373\\\ -1{,}7699\end{pmatrix}.

Passo 5

Invertendo a matriz (determinante =6{,}75) ou usando eliminação, obtém-se
\begin{pmatrix}a_0\a_1\end{pmatrix} \approx \begin{pmatrix} 1{,}3629\\\\ -0{,}8792 \end{pmatrix}.

Passo 6

Comentário sobre erros:
  • As integrais da matriz foram calculadas exatamente, sem erro.
  • As entradas do vetor envolveram funções não polinomiais \cos x e x\cos x; a regra de Gauss de 2 pontos é exata só para polinômios até grau 3, logo há erro de quadratura.
  • Comparando com os valores exatos
    \int_0^3\cos x\,dx=\sin(3)\approx0{,}1411 e
    \int_0^3 x\cos x\,dx=3\sin3+\cos3-1\approx-1{,}5667,
    vemos que b_1 ficou com erro de \approx-0{,}0038 e b_2 com erro de \approx-0{,}2032, o que afeta os coeficientes finais. Para maior precisão seria preciso mais pontos de quadratura.

Resposta

A reta aproximante é
p(x)\approx1{,}363 \;-\;0{,}879\,x.

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