(35 pontos) É dado o sistema linear:
\left\{\begin{array}{l} 2 x_{1}+x_{2}-6 x_{3}=3 \\\\ 4 x_{1}-2 x_{2}+x_{3}=2 \\\ x_{1}-5 x_{2}-2 x_{3}=-4 \end{array}\right.
(a) Resolva o sistema dado pelo Método da Eliminação de Gauss com pivoteamento, utilizando aritmética de ponto flutuante com 2 algarismos significativos.
(b) Verifique se o sistema linear dado satisfaz o Critério de Sassenfeld. Em caso negativo, troque a posição das equações no sistema, de forma que, para o sistema equivalente assim obtido, o Critério das Linhas assegure a convergência do Método de Gauss-Seidel.
(c) Para o sistema obtido em (b), calcule uma iteração pelo Método de Gauss-Seidel a partir de \left(x_{1}^{(0)}, x_{2}^{(0)}, x_{3}^{(0)}\right)^{T}=(0,0,0)^{T}.

Passo 1

O enunciado dá o sistema linear
\left\{\begin{array}{l} 2 x_{1}+x_{2}-6 x_{3}=3,\\[4pt] 4 x_{1}-2 x_{2}+x_{3}=2,\\[4pt] x_{1}-5 x_{2}-2 x_{3}=-4, \end{array}\right.
e pede três coisas:
  • (a) Resolver o sistema pelo Método da Eliminação de Gauss com pivoteamento, usando aritmética de ponto flutuante com 2 algarismos significativos.
  • (b) Verificar o Critério de Sassenfeld; se falhar, trocar a ordem das equações de modo que o critério seja satisfeito (garantindo convergência de Gauss–Seidel).
  • (c) Para o sistema reordenado em (b), executar uma iteração de Gauss–Seidel a partir de \left(x_{1}^{(0)},x_{2}^{(0)},x_{3}^{(0)}\right)^{T}=(0,0,0)^{T}.
Dados relevantes (coeffs extraídos do enunciado):
A=\begin{pmatrix} 2 & 1 & -6\\[2pt] 4 & -2 & 1\\[2pt] 1 & -5 & -2 \end{pmatrix},\qquad b=\begin{pmatrix}3\\[2pt]2\\[2pt]-4\end{pmatrix}.]

Passo 2

Breve explicação do que vamos usar (didática):
  • Eliminação de Gauss com pivoteamento parcial: em cada coluna de pivô escolhe-se, entre as linhas disponíveis, a linha cujo elemento na coluna tem maior valor absoluto; essa linha passa a ser a linha do pivô (se necessário troca-se de lugar as linhas). Isso reduz erros numéricos.
  • Aritmética de ponto flutuante com 2 algarismos significativos: cada resultado aritmético (multiplicação, soma, subtração, divisão) será arredondado para ter apenas dois algarismos significativos. Ex.: 0{,}44444\ldots arredonda para 0{,}44; -2{,}25 arredonda para -2{,}3. Vou indicar explicitamente quando arredondo.
  • Back-substitution: após obter a matriz triangular superior, calcula-se as incógnitas a partir da última equação para cima.
Agora aplico o procedimento passo a passo, mostrando os arredondamentos.

Passo 3

Primeiro passo da eliminação (coluna 1): escolher pivô na coluna 1 entre os valores |2|,|4|,|1|. O maior é |4| (linha 2). Então troco a linha 1 com a linha 2 (pivoteamento parcial).
Sistema (após a troca de linha 1↔2):
\begin{array}{rcl} \text{Linha 1:} & 4x_1 & -2x_2 \;+\; 1x_3 \;=\; 2,\\[2pt] \text{Linha 2:} & 2x_1 & +1x_2 \;-\;6x_3 \;=\; 3,\\[2pt] \text{Linha 3:} & 1x_1 & -5x_2 \;-\;2x_3 \;=\; -4. \end{array}]

Passo 4

Calcular os multiplicadores para zerar a coluna 1 abaixo do pivô:
m_{21}=\frac{2}{4}=0{,}50\quad(\text{duas cifras significativas: }0{,}50), \qquad m_{31}=\frac{1}{4}=0{,}25\quad(\text{duas cifras significativas: }0{,}25).
Vou aplicar \text{Linha}_i \leftarrow \text{Linha}_i - m_{i1}\cdot\text{Linha}_1 usando arredondamento de 2 algarismos significativos em cada resultado.

Passo 5

Eliminação coluna 1 (computações com arredondamento para 2 cifras significativas a cada resultado):
Para a nova Linha 2:
  • primeiro componente: 2 - 0{,}50\cdot 4 = 2-2 = 0.
  • segundo componente: 1 - 0{,}50\cdot(-2)=1-(-1)=2.
  • terceiro componente: -6 - 0{,}50\cdot 1 = -6 -0{,}5 = -6{,}5 (já com duas cifras significativas).
  • termo independente: 3 - 0{,}50\cdot 2 = 3-1 = 2.
Para a nova Linha 3:
  • primeiro componente: 1 - 0{,}25\cdot 4 = 1-1=0.
  • segundo componente: -5 - 0{,}25\cdot(-2) = -5 -(-0{,}5)= -4{,}5.
  • terceiro componente: -2 - 0{,}25\cdot 1 = -2 -0{,}25 = -2{,}25, arredondando para duas cifras significativas dá -2{,}3.
  • termo independente: -4 - 0{,}25\cdot 2 = -4 -0{,}5 = -4{,}5.
Assim a matriz aumentada após a primeira etapa (com entradas já arredondadas) é:
\left[\begin{array}{ccc|c} 4 & -2 & 1 & 2\\[4pt] 0 & 2 & -6{,}5 & 2\\[4pt] 0 & -4{,}5 & -2{,}3 & -4{,}5 \end{array}\right].
(Observação: quando calculei -2{,}25 arredondei para -2{,}3 por causa das duas cifras significativas.)]

Passo 6

Segunda etapa: coluna 2. Entre as linhas 2 e 3 o maior elemento em valor absoluto na coluna 2 é |-4{,}5|=4{,}5 (linha 3). Faço troca de linha 2 com linha 3 para usar esse pivô maior.
Após troca (linhas 2↔3):
\left[\begin{array}{ccc|c} 4 & -2 & 1 & 2\\[4pt] 0 & -4{,}5 & -2{,}3 & -4{,}5\\[4pt] 0 & 2 & -6{,}5 & 2 \end{array}\right].]

Passo 7

Calcular o multiplicador para zerar a_{32}:
m_{32}=\frac{2}{-4{,}5}=-0{,}44444\ldots\\ \text{arredondado para 2 cifras significativas} = -0{,}44.
Vou usar m_{32}=-0{,}44 (isto é, vou somar 0{,}44 vezes a linha 2 à linha 3, porque -m_{32}=0{,}44).
Agora eliminação (cada produto/soma arredondado a 2 cifras):
  • Para a coluna 2 da linha 3: 2 - (-0{,}44)\cdot(-4{,}5) = 2 + 0{,}44\cdot(-4{,}5).
    Primeiro 0{,}44\cdot 4{,}5 = 1{,}98 → com 2 cifras significativas é 2{,}0 (note o arredondamento de 1{,}98 para 2{,}0); então 2 + (-2{,}0)=0.
  • Para a coluna 3 da linha 3: -6{,}5 + 0{,}44\cdot(-2{,}3).
    Primeiro 0{,}44\cdot 2{,}3} = 1{,}012 → com 2 cifras significativas é 1{,}0 (arredonda para 1{,}0); então -6{,}5 + (-1{,}0) = -7{,}5.
  • Para o termo independente da linha 3: 2 + 0{,}44\cdot(-4{,}5).
    Já calculamos 0{,}44\cdot 4{,}5 \approx 1{,}98\rightarrow 2{,}0; então 2 + (-2{,}0)=0.
Portanto a linha 3 fica [0\;\;0\;\;-7{,}5\;|\;0].
A matriz triangular superior final (com arredondamentos de 2 cifras) é:
\left[\begin{array}{ccc|c} 4 & -2 & 1 & 2\\[4pt] 0 & -4{,}5 & -2{,}3 & -4{,}5\\[4pt] 0 & 0 & -7{,}5 & 0 \end{array}\right].]

Passo 8

Back-substitution (cada divisão/arredondamento com 2 cifras, se necessário):
Da terceira equação: -7{,}5\,x_3 = 0 \Rightarrow x_3 = 0.
Da segunda equação: -4{,}5\,x_2 + (-2{,}3)\,x_3 = -4{,}5.
Substituindo x_3=0: -4{,}5\,x_2 = -4{,}5 \Rightarrow x_2 = 1 (duas cifras: 1{,}0).
Da primeira equação: 4\,x_1 -2\,x_2 +1\cdot x_3 = 2.
Substituindo x_2=1, x_3=0: 4\,x_1 -2\cdot1 =2 \Rightarrow 4\,x_1 =4 \Rightarrow x_1 =1 (duas cifras: 1{,}0).
Conclusão do item (a): usando eliminação de Gauss com pivoteamento parcial e aritmética com 2 algarismos significativos obtemos
(x_1,x_2,x_3)=(1,\,1,\,0).
Observação: este é também o resultado exato do sistema; o uso de 2 cifras não alterou a solução neste caso.

Passo 9

Agora (b): explicar o Critério de Sassenfeld (didática) e aplicá-lo.
  • O Critério de Sassenfeld fornece uma condição suficiente para a convergência do método iterativo de Gauss–Seidel: define-se números \beta_1,\beta_2,\ldots,\beta_n por
\beta_1=\frac{1}{|a_{11}|}\sum_{j=2}^{n}|a_{1j}|,\qquad \beta_i=\frac{1}{|a_{ii}|}\Big(\sum_{j=1}^{i-1}|a_{ij}|\beta_j + \sum_{j=i+1}^n |a_{ij}|\Big)
para i=2,\dots,n. Se \displaystyle\max_i\beta_i<1, então Gauss–Seidel converge para qualquer aproximação inicial.
  • Vou aplicar o critério ao sistema na ordem original das equações.

Passo 10

Cálculo de Sassenfeld na ordem original (usando valores exatos para verificar o critério):
Matriz original
A=\begin{pmatrix} 2 & 1 & -6\\[2pt] 4 & -2 & 1\\[2pt] 1 & -5 & -2 \end{pmatrix}.
Cálculos:
\beta_1=\frac{|1|+|{-6}|}{|2|}=\frac{1+6}{2}=\frac{7}{2}=3{,}5,
que já é maior que 1. Logo o critério NÃO é satisfeito para a ordem original (podemos parar: max \beta_i>1). Portanto, o sistema na ordem dada NÃO garante convergência de Gauss–Seidel segundo Sassenfeld.]

Passo 11

Precisamos trocar a ordem das equações (somente permutar linhas) até que Sassenfeld seja satisfeito. Estratégia prática: escolher para a primeira equação uma linha cujo coeficiente na coluna 1 (que será a_{11}) seja grande em módulo comparado à soma dos outros coeficientes dessa linha — isso tende a reduzir \beta_1. Tentei a permutação das linhas na ordem (2,3,1) — isto é, colocar a equação original 2 como primeira, a original 3 como segunda e a original 1 como terceira. Vou verificar Sassenfeld para essa ordem.

Passo 12

Sistema permutado (ordem das equações: original 2, original 3, original 1):
\left\{\begin{array}{rcr} 4x_1 & - 2x_2 & + 1x_3 = 2,\\[4pt] 1x_1 & - 5x_2 & - 2x_3 = -4,\\[4pt] 2x_1 & + 1x_2 & - 6x_3 = 3. \end{array}\right.
Agora aplico Sassenfeld nesta ordem.
Cálculos:
\beta_1=\frac{|{-2}|+|1|}{|4|}=\frac{2+1}{4}=\frac{3}{4}=0{,}75.
\beta_2=\frac{|1|\beta_1 + |{-2}|}{|{-5}|}=\frac{1\cdot 0{,}75 + 2}{5}=\frac{2{,}75}{5}=0{,}55.
\beta_3=\frac{|2|\beta_1 + |1|\beta_2}{|{-6}|}=\frac{2\cdot 0{,}75 + 1\cdot 0{,}55}{6}=\frac{1{,}50 + 0{,}55}{6}=\frac{2{,}05}{6}\approx 0{,}3417.
O máximo é \max\{0{,}75,0{,}55,0{,}3417\}=0{,}75<1. Portanto o Critério de Sassenfeld é satisfeito para a permutação (2,3,1). Isso garante a convergência do método de Gauss–Seidel para esse sistema permutado.]

Passo 13

Resumo do item (b) (resultado prático):
  • O sistema original NÃO satisfaz o Critério de Sassenfeld.
  • Após permutar as equações na ordem (2,3,1) (ou seja, escrever as equações na ordem: a equação original 2, depois a original 3, depois a original 1), obtemos um sistema equivalente para o qual o Critério de Sassenfeld é satisfeito ( \max\beta_i=0{,}75<1). Logo, Gauss–Seidel converge para esse sistema permutado.

Passo 14

Agora (c): escrever as fórmulas iterativas de Gauss–Seidel para o sistema permutado e calcular uma iteração a partir de (0,0,0)^T.
Sistema permutado (repetindo):
\left\{\begin{array}{rcl} 4x_1 - 2x_2 + 1x_3 &=& 2,\\[4pt] 1x_1 - 5x_2 - 2x_3 &=& -4,\\[4pt] 2x_1 + 1x_2 - 6x_3 &=& 3. \end{array}\right.
Isolando cada incógnita (forma usada no Gauss–Seidel: usa-se já valores atualizados quando disponíveis):
x_1 = \frac{2 + 2x_2 - x_3}{4}, \qquad x_2 = \frac{4 + x_1 - 2x_3}{5}, \qquad x_3 = \frac{2x_1 + x_2 - 3}{6}.
(Observação rápida: reescrevi a segunda equação para isolar x_2; note o sinal trocado ao isolar.)]

Passo 15

Executar uma iteração de Gauss–Seidel iniciando em (x_1^{(0)},x_2^{(0)},x_3^{(0)})=(0,0,0). Vou mostrar os cálculos passo a passo e arredondar os resultados finais de cada componente a duas casas significativas por clareza (outras convenções também aceitáveis).
  1. Computar x_1^{(1)} usando x_2^{(0)}=0,\;x_3^{(0)}=0:
x_1^{(1)}=\frac{2 + 2\cdot 0 - 0}{4}=\frac{2}{4}=0{,}50.
  1. Computar x_2^{(1)} usando x_1^{(1)}=0{,}50,\;x_3^{(0)}=0:
x_2^{(1)}=\frac{4 + 0{,}50 - 2\cdot 0}{5}=\frac{4{,}50}{5}=0{,}90.
  1. Computar x_3^{(1)} usando x_1^{(1)}=0{,}50,\;x_2^{(1)}=0{,}90:
x_3^{(1)}=\frac{2\cdot 0{,}50 + 0{,}90 -3}{6}=\frac{1{,}00 + 0{,}90 -3}{6}=\frac{-1{,}10}{6} \approx -0{,}18.
Assim a primeira iteração de Gauss–Seidel (após uma iteração) dá, aproximadamente:
\left(x_1^{(1)},x_2^{(1)},x_3^{(1)}\right)\approx (0{,}50,\;0{,}90,\;-0{,}18).

Resposta

(a) [\displaystyle (x_1,x_2,x_3)=(1,,1,,0).)
(b) O sistema original NÃO satisfaz o Critério de Sassenfeld. Permutando as equações na ordem (2,3,1) (isto é, escrevendo as equações originais 2, 3 e 1 nessa ordem) obtemos o sistema
\begin{cases} 4x_1-2x_2+x_3=2,\\[2pt] x_1-5x_2-2x_3=-4,\\[2pt] 2x_1+x_2-6x_3=3, \end{cases}
para o qual Sassenfeld dá \beta_1=0{,}75,\\ \beta_2=0{,}55,\\ \beta_3\approx0{,}3417\] e \(\max\beta_i=0{,}75<1 (ou seja, o critério passa a ser satisfeito).
(c) Uma iteração de Gauss–Seidel para o sistema permutado, a partir de (0,0,0)^T, dá
\displaystyle (x_1^{(1)},x_2^{(1)},x_3^{(1)})\approx(0{,}50,\;0{,}90,\;-0{,}18).]

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