(a) Resolva o sistema dado pelo Método da Eliminação de Gauss com pivoteamento, utilizando aritmética de ponto flutuante com 2 algarismos significativos.
(b) Verifique se o sistema linear dado satisfaz o Critério de Sassenfeld. Em caso negativo, troque a posição das equações no sistema, de forma que, para o sistema equivalente assim obtido, o Critério das Linhas assegure a convergência do Método de Gauss-Seidel.
(c) Para o sistema obtido em (b), calcule uma iteração pelo Método de Gauss-Seidel a partir de \left(x_{1}^{(0)}, x_{2}^{(0)}, x_{3}^{(0)}\right)^{T}=(0,0,0)^{T}.
(a) Resolver o sistema pelo Método da Eliminação de Gauss com pivoteamento, usando aritmética de ponto flutuante com 2 algarismos significativos.
(b) Verificar o Critério de Sassenfeld; se falhar, trocar a ordem das equações de modo que o critério seja satisfeito (garantindo convergência de Gauss–Seidel).
(c) Para o sistema reordenado em (b), executar uma iteração de Gauss–Seidel a partir de \left(x_{1}^{(0)},x_{2}^{(0)},x_{3}^{(0)}\right)^{T}=(0,0,0)^{T}.
Eliminação de Gauss com pivoteamento parcial: em cada coluna de pivô escolhe-se, entre as linhas disponíveis, a linha cujo elemento na coluna tem maior valor absoluto; essa linha passa a ser a linha do pivô (se necessário troca-se de lugar as linhas). Isso reduz erros numéricos.
Aritmética de ponto flutuante com 2 algarismos significativos: cada resultado aritmético (multiplicação, soma, subtração, divisão) será arredondado para ter apenas dois algarismos significativos. Ex.: 0{,}44444\ldots arredonda para 0{,}44; -2{,}25 arredonda para -2{,}3. Vou indicar explicitamente quando arredondo.
Back-substitution: após obter a matriz triangular superior, calcula-se as incógnitas a partir da última equação para cima.
Agora aplico o procedimento passo a passo, mostrando os arredondamentos.
Passo 3
Primeiro passo da eliminação (coluna 1): escolher pivô na coluna 1 entre os valores |2|,|4|,|1|. O maior é |4| (linha 2). Então troco a linha 1 com a linha 2 (pivoteamento parcial).
(Observação: quando calculei -2{,}25 arredondei para -2{,}3 por causa das duas cifras significativas.)]
Passo 6
Segunda etapa: coluna 2. Entre as linhas 2 e 3 o maior elemento em valor absoluto na coluna 2 é |-4{,}5|=4{,}5 (linha 3). Faço troca de linha 2 com linha 3 para usar esse pivô maior.
m_{32}=\frac{2}{-4{,}5}=-0{,}44444\ldots\\ \text{arredondado para 2 cifras significativas} = -0{,}44.
Vou usar m_{32}=-0{,}44 (isto é, vou somar 0{,}44 vezes a linha 2 à linha 3, porque -m_{32}=0{,}44).
Agora eliminação (cada produto/soma arredondado a 2 cifras):
Para a coluna 2 da linha 3: 2 - (-0{,}44)\cdot(-4{,}5) = 2 + 0{,}44\cdot(-4{,}5).
Primeiro 0{,}44\cdot 4{,}5 = 1{,}98 → com 2 cifras significativas é 2{,}0 (note o arredondamento de 1{,}98 para 2{,}0); então 2 + (-2{,}0)=0.
Para a coluna 3 da linha 3: -6{,}5 + 0{,}44\cdot(-2{,}3).
Primeiro 0{,}44\cdot 2{,}3} = 1{,}012 → com 2 cifras significativas é 1{,}0 (arredonda para 1{,}0); então -6{,}5 + (-1{,}0) = -7{,}5.
Para o termo independente da linha 3: 2 + 0{,}44\cdot(-4{,}5).
Já calculamos 0{,}44\cdot 4{,}5 \approx 1{,}98\rightarrow 2{,}0; então 2 + (-2{,}0)=0.
Portanto a linha 3 fica [0\;\;0\;\;-7{,}5\;|\;0].
A matriz triangular superior final (com arredondamentos de 2 cifras) é:
Conclusão do item (a): usando eliminação de Gauss com pivoteamento parcial e aritmética com 2 algarismos significativos obtemos
(x_1,x_2,x_3)=(1,\,1,\,0).
Observação: este é também o resultado exato do sistema; o uso de 2 cifras não alterou a solução neste caso.
Passo 9
Agora (b): explicar o Critério de Sassenfeld (didática) e aplicá-lo.
O Critério de Sassenfeld fornece uma condição suficiente para a convergência do método iterativo de Gauss–Seidel: define-se números \beta_1,\beta_2,\ldots,\beta_n por
que já é maior que 1. Logo o critério NÃO é satisfeito para a ordem original (podemos parar: max \beta_i>1). Portanto, o sistema na ordem dada NÃO garante convergência de Gauss–Seidel segundo Sassenfeld.]
Passo 11
Precisamos trocar a ordem das equações (somente permutar linhas) até que Sassenfeld seja satisfeito. Estratégia prática: escolher para a primeira equação uma linha cujo coeficiente na coluna 1 (que será a_{11}) seja grande em módulo comparado à soma dos outros coeficientes dessa linha — isso tende a reduzir \beta_1. Tentei a permutação das linhas na ordem (2,3,1) — isto é, colocar a equação original 2 como primeira, a original 3 como segunda e a original 1 como terceira. Vou verificar Sassenfeld para essa ordem.
Passo 12
Sistema permutado (ordem das equações: original 2, original 3, original 1):
O máximo é \max\{0{,}75,0{,}55,0{,}3417\}=0{,}75<1. Portanto o Critério de Sassenfeld é satisfeito para a permutação (2,3,1). Isso garante a convergência do método de Gauss–Seidel para esse sistema permutado.]
Passo 13
Resumo do item (b) (resultado prático):
O sistema original NÃO satisfaz o Critério de Sassenfeld.
Após permutar as equações na ordem (2,3,1) (ou seja, escrever as equações na ordem: a equação original 2, depois a original 3, depois a original 1), obtemos um sistema equivalente para o qual o Critério de Sassenfeld é satisfeito (\max\beta_i=0{,}75<1). Logo, Gauss–Seidel converge para esse sistema permutado.
Passo 14
Agora (c): escrever as fórmulas iterativas de Gauss–Seidel para o sistema permutado e calcular uma iteração a partir de (0,0,0)^T.
(Observação rápida: reescrevi a segunda equação para isolar x_2; note o sinal trocado ao isolar.)]
Passo 15
Executar uma iteração de Gauss–Seidel iniciando em (x_1^{(0)},x_2^{(0)},x_3^{(0)})=(0,0,0). Vou mostrar os cálculos passo a passo e arredondar os resultados finais de cada componente a duas casas significativas por clareza (outras convenções também aceitáveis).
(b) O sistema original NÃO satisfaz o Critério de Sassenfeld. Permutando as equações na ordem (2,3,1) (isto é, escrevendo as equações originais 2, 3 e 1 nessa ordem) obtemos o sistema
para o qual Sassenfeld dá \beta_1=0{,}75,\\ \beta_2=0{,}55,\\ \beta_3\approx0{,}3417\] e \(\max\beta_i=0{,}75<1 (ou seja, o critério passa a ser satisfeito).
(c) Uma iteração de Gauss–Seidel para o sistema permutado, a partir de (0,0,0)^T, dá \displaystyle (x_1^{(1)},x_2^{(1)},x_3^{(1)})\approx(0{,}50,\;0{,}90,\;-0{,}18).]