(Liga Nacional de Matemática do Ensino Médio da China 2025 - modificada) Seja a, b , c números reais positivos tal que a+b+c=3. Sabendo que o valor máximo de S=a+a b+ a b c+b c+c é igual a m, então o valor de m é um número:
a) Par
b) Primo
c) Quadrado perfeito
d) Divisível de 3
e) Múltiplo de 7

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações:
  • a,b,c são números reais positivos.
  • \;a+b+c=3.
  • Definimos a expressão \;S=a+ab+abc+bc+c.
    A pergunta é: sabendo que o valor máximo de S é igual a m, qual das alternativas descreve m:
    a) Par
    b) Primo
    c) Quadrado perfeito
    d) Divisível de 3
    e) Múltiplo de 7

Passo 2

Primeiro vamos reescrever S de forma a ficar em função apenas de b e do produto ac. Agrupando termos:
S = a + ab + abc + bc + c = (a+c) + b(a+c) + abc = (a+c)(1+b) + abc.
Como a+c = 3-b (por a+b+c=3), temos
S = (3-b)(1+b) + abc.

Passo 3

Para cada valor fixo de b (com 0<b<3), a quantidade (3-b) é fixa, então o que resta variar é ac (pois abc = b\cdot ac). Precisamos de uma estimativa máxima para ac quando a+c é fixo. Pelo Desigualdade A.M.-G.M. (muito usada em provas):
A.M.-G.M.: para x,y>0 vale \dfrac{x+y}{2}\ge\sqrt{xy}. Aplicando com x=a e y=c obtemos
\frac{a+c}{2} \ge \sqrt{ac}\quad\Longrightarrow\quad ac \le \left(\frac{a+c}{2}\right)^2.
Como a+c=3-b, segue
ac \le \left(\frac{3-b}{2}\right)^2 = \frac{(3-b)^2}{4}.
Logo, para cada b fixo,
abc = b\cdot ac \le b\cdot \frac{(3-b)^2}{4}.
A igualdade em A.M.-G.M. (e portanto nessa estimativa) ocorre quando a=c.

Passo 4

Substituindo essa cota em S obtemos uma função em b que domina S:
S \le (3-b)(1+b) + b\cdot\frac{(3-b)^2}{4}.
Defina
f(b) = (3-b)(1+b) + \frac{b(3-b)^2}{4}.
Agora vamos simplificar f(b). Primeiro calcule (3-b)(1+b):
(3-b)(1+b)=3+2b-b^2.
E (3-b)^2=9-6b+b^2, então
\frac{b(3-b)^2}{4}=\frac{9b}{4}-\frac{6b^2}{4}+\frac{b^3}{4}=\frac{9}{4}b-\frac{3}{2}b^2+\frac{1}{4}b^3.
Somando tudo:
f(b)=3+\left(2+\frac{9}{4}\right)b+\left(-1-\frac{3}{2}\right)b^2+\frac{1}{4}b^3 =3+\frac{17}{4}b-\frac{5}{2}b^2+\frac{1}{4}b^3.

Passo 5

Para encontrar o máximo possível de S usamos que S\le f(b) para cada b, e o máximo global de S será atingido quando conseguirmos a igualdade nas estimativas, o que exige a=c além de escolher b que maximize f(b). Então vamos maximizar f(b) para b\in(0,3).
Calcule a derivada:
f'(b)=\frac{17}{4}-5b+\frac{3}{4}b^2.
Multiplicando por 4 para evitar frações:
4f'(b)=17-20b+3b^2.
Zerando a derivada:
3b^2-20b+17=0.
Resolvendo a quadrática, o discriminante é
\Delta = (-20)^2-4\cdot3\cdot17 =400-204=196,
logo \sqrt{\Delta}=14. Assim as raízes são
b=\frac{20\pm14}{6}.
Portanto
b_1=\frac{20+14}{6}=\frac{34}{6}=\frac{17}{3}\quad(\approx5{,}67),
b_2=\frac{20-14}{6}=\frac{6}{6}=1.
Como b deve estar em (0,3), a única raiz admissível é b=1. Logo f tem um crítico em b=1. (O outro crítico está fora do intervalo permitido.)

Passo 6

Vamos verificar que em b=1 obtemos realmente o máximo e também a possibilidade de igualdade com S. Quando b=1, temos a+c=3-b=2. A igualdade em A.M.-G.M. ocorre para a=c, ou seja a=c=1. Então o triplo (a,b,c)=(1,1,1) é admissível e dá
S = a+ab+abc+bc+c = 1+1+1+1+1=5.
Portanto S=5 é atingido e, como para todo b vale S\le f(b) e f(b) tem máximo crítico em b=1 dentro do intervalo, concluímos que o máximo global é
m=5.
Para confirmar que não há valor maior em ponto de fronteira: se b\to0^+ então S\to a+c=3; se b\to3^- então a+c\to0^+ e S é pequeno. Assim 5 é mesmo o máximo global.

Passo 7

Agora analiso as propriedades do número m. Como m=5:
  • 5 não é par.
  • 5 é primo.
  • 5 não é um quadrado perfeito.
  • 5 não é divisível por 3.
  • 5 não é múltiplo de 7.
Portanto a alternativa correta é a que diz que m é primo.

Resposta

b) Primo

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