(Liga Nacional de Matemática do Ensino Médio da China 2025 - modificada) Seja a, b , c números reais positivos tal que
. Sabendo que o valor máximo de
é igual a
, então o valor de
é um número:
a) Par
b) Primo
c) Quadrado perfeito
d) Divisível de 3
e) Múltiplo de 7
a) Par
b) Primo
c) Quadrado perfeito
d) Divisível de 3
e) Múltiplo de 7
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações:
-
são números reais positivos. -
. - Definimos a expressão
.
A pergunta é: sabendo que o valor máximo deé igual a , qual das alternativas descreve :
a) Par
b) Primo
c) Quadrado perfeito
d) Divisível de 3
e) Múltiplo de 7
Passo 2
Primeiro vamos reescrever
de forma a ficar em função apenas de
e do produto
. Agrupando termos:
Como
(por
), temos
Passo 3
Para cada valor fixo de
(com
), a quantidade
é fixa, então o que resta variar é
(pois
). Precisamos de uma estimativa máxima para
quando
é fixo. Pelo Desigualdade A.M.-G.M. (muito usada em provas):
A.M.-G.M.: para
vale
. Aplicando com
e
obtemos
Como
, segue
Logo, para cada
fixo,
A igualdade em A.M.-G.M. (e portanto nessa estimativa) ocorre quando
.
Passo 4
Substituindo essa cota em
obtemos uma função em
que domina
:
Defina
Agora vamos simplificar
. Primeiro calcule
:
E
, então
Somando tudo:
Passo 5
Para encontrar o máximo possível de
usamos que
para cada
, e o máximo global de
será atingido quando conseguirmos a igualdade nas estimativas, o que exige
além de escolher
que maximize
. Então vamos maximizar
para
.
Calcule a derivada:
Multiplicando por
para evitar frações:
Zerando a derivada:
Resolvendo a quadrática, o discriminante é
logo
. Assim as raízes são
Portanto
Como
deve estar em
, a única raiz admissível é
. Logo
tem um crítico em
. (O outro crítico está fora do intervalo permitido.)
Passo 6
Vamos verificar que em
obtemos realmente o máximo e também a possibilidade de igualdade com
. Quando
, temos
. A igualdade em A.M.-G.M. ocorre para
, ou seja
. Então o triplo
é admissível e dá
Portanto
é atingido e, como para todo
vale
e
tem máximo crítico em
dentro do intervalo, concluímos que o máximo global é
Para confirmar que não há valor maior em ponto de fronteira: se
então
; se
então
e
é pequeno. Assim
é mesmo o máximo global.
Passo 7
Agora analiso as propriedades do número
. Como
:
-
não é par. -
é primo. -
não é um quadrado perfeito. -
não é divisível por . -
não é múltiplo de .
Portanto a alternativa correta é a que diz que
é primo.
Resposta
b) Primo