( 35 pts) Um pistão em um sistema hidráulico exerce uma força variável \mathrm{F}(\mathrm{x}) ao longo de seu curso, onde \mathrm{F}(\mathrm{x}) (em Newtons) é dado por:
F(x)=50 e^{-0,2 x}+10 \operatorname{sen}(3 x), \text { para } \mathrm{x} \in[0,5]
Sabendo que o trabalho realizado pelo pistão é calculado pela integral de \mathrm{F}(\mathrm{x}), estime o trabalho realizado utilizando \mathrm{n}=9,10 ou 12 partes e o método de integração que melhor se adeque à quantidade de partes escolhida.

Passo 1

O enunciado pede para estimar o trabalho
W=\int_{0}^{5}F(x)\,\mathrm{d}x,
onde
F(x)=50e^{-0,2x}+10\sin(3x),
usando n=9,10 ou 12 subintervalos e o método de integração numérica que melhor se encaixe. Vamos escolher n=10, pois é par, e assim aplicar a Regra de Simpson 1/3, que exige n par.

Passo 2

Com n=10, o passo é
h=\frac{b-a}{n}=\frac{5-0}{10}=0,5.
Definimos os nós
x_i = 0 + i\cdot 0,5,\quad i=0,1,\dots,10.

Passo 3

Calculamos F(x_i) em cada nó. Usando aproximações a quatro casas decimais:
\begin{aligned} F(0 )&=50e^{0}+10\sin(0)=50,0000,\\\ F(0,5 )&=50e^{-0,1}+10\sin(1,5)\approx45,2419+9,9749=55,2168,\\\ F(1,0 )&=50e^{-0,2}+10\sin(3 )\approx40,9365+1,4112=42,3477,\\\ F(1,5 )&=50e^{-0,3}+10\sin(4,5)\approx37,0410-9,7753=27,2657,\\\ F(2,0 )&=50e^{-0,4}+10\sin(6 )\approx33,5150-2,7940=30,7210,\\\ F(2,5 )&=50e^{-0,5}+10\sin(7,5)\approx30,3265+9,3799=39,7064,\\\ F(3,0 )&=50e^{-0,6}+10\sin(9 )\approx27,4405+4,1212=31,5617,\\\ F(3,5 )&=50e^{-0,7}+10\sin(10,5)\approx24,8290-8,7970=16,0320,\\\ F(4,0 )&=50e^{-0,8}+10\sin(12 )\approx22,4665-5,3660=17,1005,\\\ F(4,5 )&=50e^{-0,9}+10\sin(13,5)\approx20,3285+7,1600=27,4885,\\\ F(5,0 )&=50e^{-1,0}+10\sin(15 )\approx18,3939+6,5028=24,8967. \end{aligned}

Passo 4

Na Regra de Simpson 1/3,
W\approx \frac{h}{3}\Bigl[f_0+f_{10}+4\sum_{i\text{ ímpar}}f_i+2\sum_{i\text{ par},\,i\neq0,10}f_i\Bigr].í
Somamos:
\sum_{i\text{ ímpar}}f_i =F(0{,}5)+F(1{,}5)+F(2{,}5)+F(3{,}5)+F(4{,}5) \approx165,7094,í
\sum_{i\text{ par},\,i\neq0,10}f_i =F(1{,}0)+F(2{,}0)+F(3{,}0)+F(4{,}0) \approx121,7309.

Passo 5

Substituindo em Simpson:
W\approx \frac{0,5}{3}\Bigl[50{,}0000+24{,}8967 +4\,(165{,}7094)+2\,(121{,}7309)\Bigr].
Calculando o interior:
50{,}0000+24{,}8967=74{,}8967, \quad4\cdot165{,}7094=662{,}8376, \quad2\cdot121{,}7309=243{,}4618,
\text{soma total}=74{,}8967+662{,}8376+243{,}4618=981{,}1961.
Logo
W\approx \frac{0,5}{3}\times981{,}1961 \approx0,166667\times981{,}1961 \approx163{,}5327.

Resposta

O trabalho estimado pelo método de Simpson 1/3 com n=10 é aproximadamente
\boxed{W\approx163{,}53\text{ J}.}

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