(30 Pontos) Determine a reta que melhor aproxima f(x)=\sin (x) em [-1,1] no sentido dos mínimos quadrados. Isto é:
(a) monte o sistema de equações normais. Para a montagem do sistema utilize obrigatoriamente a quadratura de Gauss com 2 pontos para realizar o cálculo de todas as integrais;
(b) resolva o sistema de equações normais;
(c) comente a respeito de erros no cálculo das integrais da matriz e do vetor do sistema.

Passo 1

Resumindo: queremos aproximar f(x)=\sin(x) em [-1,1] por uma reta
p_1(x)=a_0 + a_1\,x
no sentido dos mínimos quadrados, ou seja, minimizar
\int_{-1}^{1}\bigl(\sin(x)-a_0 - a_1x\bigr)^2\,dx.
As equações normais são
\sum_{j=0}^{1}\Bigl(\int_{-1}^{1}\phi_i(x)\,\phi_j(x)\,dx\Bigr)a_j =\int_{-1}^{1}\phi_i(x)\,\sin(x)\,dx, \quad i=0,1,
com \phi_0(x)=1, \phi_1(x)=x. Vamos montar cada integral usando quadratura de Gauss com 2 pontos em [-1,1], cujos nós são
x_{1}=-\tfrac{1}{\sqrt{3}},\quad x_{2}=+\tfrac{1}{\sqrt{3}},
e ambos os pesos valem w_1=w_2=1.

Passo 2

Calculando os elementos da matriz M e do vetor \mathbf b por Gauss 2 pontos:
  1. M_{00}=\displaystyle\int_{-1}^{1}1\cdot1\,dx\approx \sum_{k=1}^{2}w_k\cdot1 =1+1=2. 2. M_{01}=M_{10}=\displaystyle\int_{-1}^{1}1\cdot x\,dx\approx \sum_{k=1}^{2}w_k\,x_k =\bigl(-\tfrac1{\sqrt3}\bigr)+\bigl(+\tfrac1{\sqrt3}\bigr)=0. 3. M_{11}=\displaystyle\int_{-1}^{1}x^2\,dx\approx \sum_{k=1}^{2}w_k\,x_k^2 =\tfrac{1}{3}+\tfrac{1}{3}=\tfrac{2}{3}. 4. b_0=\displaystyle\int_{-1}^{1}\sin(x)\,dx\approx \sum_{k=1}^{2}w_k\,\sin(x_k) =\sin\bigl(-\tfrac1{\sqrt3}\bigr)+\sin\bigl(+\tfrac1{\sqrt3}\bigr)=0. 5. b_1=\displaystyle\int_{-1}^{1}x\,\sin(x)\,dx\approx \sum_{k=1}^{2}w_k\,x_k\sin(x_k) =\underbrace{\tfrac{1}{\sqrt3}\sin\bigl(\tfrac1{\sqrt3}\bigr)}_{\approx0,314} +\underbrace{\bigl(-\tfrac{1}{\sqrt3}\bigr)\sin\bigl(-\tfrac1{\sqrt3}\bigr)}_{\approx0,314} \approx0,628. Assim as equações normais aproximadas são
\begin{pmatrix} 2 & 0\\[6pt] 0 & \tfrac{2}{3} \end{pmatrix} \begin{pmatrix}a_0\a_1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0\\\ 0,628\end{pmatrix}.]

Passo 3

Resolvendo
2\,a_0 = 0 \;\Rightarrow\;a_0=0, \qquad \tfrac{2}{3}\,a_1 = 0,628 \;\Rightarrow\; a_1 = \tfrac{3}{2}\times0,628 \approx0,942.
Logo a reta de ajuste pelo método de Gauss 2 pontos é
p_1(x)=0 + 0,942\,x.

Passo 4

Comentário sobre erros: a quadratura de Gauss com 2 pontos integra exatamente polinômios de grau até 3. Logo todos os elementos de M, que envolvem funções polinomiais de grau <=2, saíram exatos. Contudo b_0 e b_1 envolvem seno e produto x\sin(x), que não são polinômios, então há erro na aproximação de b_1. De fato o valor exato
\int_{-1}^{1}x\sin(x)\,dx =2\bigl(\sin(1)-\cos(1)\bigr) \approx0,6023,
enquanto a quadratura deu 0,628, gerando uma diferença de cerca de 0,0257 no coeficiente a_1.

Resposta

A reta obtida é
p_1(x)=0{,}942\,x.

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