(30 Pontos) Determine a reta que melhor aproxima f(x)=\sin (x) em [-1,1] no sentido dos mínimos quadrados. Isto é:
(a) monte o sistema de equações normais. Para a montagem do sistema utilize obrigatoriamente a quadratura de Gauss com 2 pontos para realizar o cálculo de todas as integrais;
(b) resolva o sistema de equações normais;
(c) comente a respeito de erros no cálculo das integrais da matriz e do vetor do sistema.
Passo 1
Resumindo: queremos aproximar f(x)=\sin(x) em [-1,1] por uma reta
p_1(x)=a_0 + a_1\,x
no sentido dos mínimos quadrados, ou seja, minimizar
Logo a reta de ajuste pelo método de Gauss 2 pontos é
p_1(x)=0 + 0,942\,x.
Passo 4
Comentário sobre erros: a quadratura de Gauss com 2 pontos integra exatamente polinômios de grau até 3. Logo todos os elementos de M, que envolvem funções polinomiais de grau <=2, saíram exatos. Contudo b_0 e b_1 envolvem seno e produto x\sin(x), que não são polinômios, então há erro na aproximação de b_1. De fato o valor exato