3.36 A Burlington Northern está considerando a eliminação de uma passagem de nível em uma ferrovia e a construção de uma ponte sobre os trilhos com duas mãos de direção. A ferrovia subcontrata a manutenção dos portões de sua passagem de nível a \ 11.500 por ano. Com início daqui a 4 anos, entretanto, espera-se que os custos se elevem em \í 1.000 ao ano em um futuro previsível (ou seja, $12.500 daqui a 4 anos, \13.500 daqui a 5 anos etc.). A construção da ponte custará \çãá1,4 milhão (agora), mas eliminará 100% das colisões entre automóveis e trens, que têm um custo de \250.000 por ano. Se a ferrovia utilizar um período de estudo de 10 anos e uma taxa de juros deí10 %$ ao ano, determine se a ferrovia deve ou não construir a ponte.

Passo 1

Vou deixar bem claro o que o enunciado fornece e o que é pedido.
Dados fornecidos:
  • Custo atual da manutenção dos portões: \$11{,}500 por ano (pagamentos anuais).
  • A partir de daqui a 4 anos os custos aumentarão em \$1{,}000 por ano de forma previsível (ou seja: ano 4 \$12{,}500, ano 5 \$13{,}500, …, até o fim do horizonte).
  • Custo das colisões (se a passagem não for eliminada): \$250{,}000 por ano (todo ano enquanto a passagem existir).
  • Custo de construir a ponte (se construída agora): \$1{,}400{,}000 pago agora (ano 0).
  • Período de estudo: 10 anos.
  • Taxa de juros (taxa mínima de atratividade): i=10\% ao ano.
O que o enunciado pede:
  • Determinar, usando o período de estudo de 10 anos e i=10\%, se a ferrovia deve construir a ponte ou não — isto é, comparar economicamente as duas alternativas (construir agora ou não construir) e tomar a decisão baseada no valor presente.
Observação sobre o cronograma de pagamentos (assunção padrão): os pagamentos anuais (manutenção e custo de colisões) são assumidos como pagamentos ao final de cada ano, nos anos 1,2,\dots,10. O custo da ponte é pago agora (ano 0).

Passo 2

Estratégia de solução (fórmula e conceito que vamos usar).
Explicando o método do valor presente (PV), passo a passo e de forma bem didática:
  • A ideia é trazer todos os fluxos de caixa futuros a valor presente (ano 0) usando a taxa de desconto i. O projeto que tiver menor custo presente é o preferível.
  • Para um pagamento uniforme anual A por n anos (anuuidade), o valor presente é dado por
P = A\cdot\frac{1-(1+i)^{-n}}{i}.
Aqui A é a quantia paga ao final de cada ano, i é a taxa por período, n é o número de anos. A fração \dfrac{1-(1+i)^{-n}}{i} é o fator (P/A,i,n) (fator de presente de uma anuidade).
  • Para uma série aritmética (quando o pagamento aumenta linearmente todo ano), é prático decompor o fluxo em duas partes: uma anuidade constante e um “gradiente” (a parte que aumenta linearmente). Depois somamos os presentes dessas duas partes.
    • Se a parte crescente tem incremento g por ano e começa no segundo termo da sequência (isto é, pagamentos do tipo A_1, A_1+g, A_1+2g,\dots), podemos escrever a parte gradiente como soma e usar uma fórmula fechada. Mas aqui eu vou decompor e usar a fórmula conhecida para a anuidade e a soma do gradiente, e mostrar como aplicá-las numericamente (sem pular passos).
Vamos aplicar isso:
  • Calcular PV_{\text{colisões}}õ: \$250{,}000 por ano por 10 anos.
  • Calcular PV_{\text{manutenção}}çã: sequência composta por:
    • anos 1 a 3: \$11{,}500 por ano (anuuidade por 3 anos);
    • anos 4 a 10: começar em \$12{,}500 no ano 4 e aumentar \$1{,}000 por ano até o ano 10 (são 7 pagamentos: anos 4…10). Decomponho isso em uma anuidade constante de \$12{,}500 por 7 anos mais um gradiente com incrementos \$1{,}000 por ano.
  • Calcular PV_{\text{não construir}} = PV_{\text{manutenção}} + PV_{\text{colisões}}ãçãõ.
  • Comparar com PV_{\text{construir}} = \$1{,}400{,}000 (pagamento no ano 0). Se PV_{\text{construir}} < PV_{\text{não construir}}ã então construir é economicamente vantajoso.

Passo 3

Calcular o valor presente dos custos com colisões.
Pagamento anual \$250{,}000 por n=10 anos, taxa i=10\%. Usamos a fórmula de anuidade:
P_{\text{colisões}} = 250{,}000\cdot\frac{1-(1+0{,}10)^{-10}}{0{,}10}.õ
Primeiro calcule o fator anuidade:
\frac{1-(1{,}10)^{-10}}{0{,}10} \approx 6{,}14456711.
Portanto
P_{\text{colisões}} \approx 250{,}000\cdot 6{,}14456711 \approx 1{,}536{,}141{,}78.õ
Arredondando para centavos: \$1{,}536{,}141{,}78.

Passo 4

Calcular o valor presente dos custos de manutenção (parte complicada, passo a passo).
Dividimos em duas partes:
Parte A — anos 1 a 3: pagamento anual constante \$11{,}500 por 3 anos.
P_{1-3} = 11{,}500\cdot\frac{1-(1+0{,}10)^{-3}}{0{,}10}.
Calculemos o fator:
\frac{1-(1{,}10)^{-3}}{0{,}10}\approx 2{,}486851990984263.
Logo
P_{1-3}\approx 11{,}500\cdot 2{,}486851990984263 \approx 28{,}598{,}797{,}90.
Parte B — anos 4 a 10: pagamentos são \$12{,}500 no ano 4, \$13{,}500 no ano 5, …, até ano 10 ($12{,}500 + $1{,}000\cdot(k-1) para k=1…7 correspondendo a anos 4…10). São 7 pagamentos. Decomponho em:
  • uma anuidade constante de \$12{,}500 por 7 anos (valores nos anos 4…10),
  • mais um gradiente com incrementos de g=\$1{,}000 por ano, cujo primeiro incremento aparece no ano 5 (o termo associado ao ano 4 é zero incremento).
  1. Valor no instante imediatamente antes do ano 4 (ou seja, valor presente dos anos 4…10 trazido para o tempo 3) da anuidade \$12{,}500 por 7 anos:
P_{const,\;t=3} = 12{,}500\cdot\frac{1-(1+0{,}10)^{-7}}{0{,}10}.
O fator anuidade para n=7,i=10\% é aproximadamente 4{,}8684188. Então
P_{const,\;t=3}\approx 12{,}500\cdot 4{,}8684188 \approx 60{,}855{,}235.
  1. Valor no tempo 3 da parte gradiente ( g=\$1{,}000):
    Queremos
P_{grad,\;t=3} = 1{,}000\cdot\sum_{k=1}^{7}\frac{k-1}{(1+0{,}10)^{k}}.
(onde o índice k=1 corresponde ao ano 4, por isso o multiplicador é k-1). Para não pular etapas, convertemos essa soma em forma fechada. Com x=\dfrac{1}{1{,}10}=0{,}909090909\ldots e usando a soma conhecida
\sum_{j=1}^{n} j x^{j} = \frac{x\bigl(1-(n+1)x^n + n x^{n+1}\bigr)}{(1-x)^2},
tomamos n=6 (pois há termos j=1 a 6 quando reindexamos) e obtemos numericamente
\sum_{k=1}^{7}\frac{k-1}{(1+0{,}10)^{k}} = x\cdot\sum_{j=1}^{6} j x^{j} \approx 0{,}909090909\cdot 13{,}303186897 \approx 12{,}093{,}80718.
Portanto
P_{grad,\;t=3}\approx 1{,}000\cdot 12{,}093{,}80718 \approx 12{,}093{,}807{,}18.
  1. Soma no tempo 3 (anos 4…10):
P_{4-10,\;t=3} = P_{const,\;t=3} + P_{grad,\;t=3} \approx 60{,}855{,}235 + 12{,}093{,}807{,}18 \approx 72{,}949{,}042{,}18.
Agora trazemos esse valor do tempo 3 para o tempo 0 (descontando 3 anos a 10\%):
P_{4-10,\;t=0} = P_{4-10,\;t=3}\cdot (1+0{,}10)^{-3} \approx 72{,}949{,}042{,}18\cdot 0{,}7513148009 \approx 54{,}836{,}089{,}.
Finalmente, o valor presente total da manutenção (somando parte A e parte B):
P_{\text{manutenção}} = P_{1-3} + P_{4-10,\;t=0} \approx 28{,}598{,}797{,}90 + 54{,}836{,}089 \approx 83{,}434{,}886{,}90.çã
Arredondando, \$83{,}434{,}886{,}90 (aprox. \$83{,}435).

Passo 5

Somar os componentes e comparar com o custo da ponte.
Valor presente se não construir (pagar manutenção + colisões):
P_{\text{não construir}} = P_{\text{manutenção}} + P_{\text{colisões}}ãçãõ
\approx 83{,}434{,}886{,}90 + 1{,}536{,}141{,}78 \approx 1{,}619{,}576{,}66.
Assim, ao trazer tudo a valor presente no ano 0, o custo esperado de NÃO construir a ponte durante 10 anos é cerca de \$1{,}619{,}576{,}66.
Custo presente de construir a ponte agora:
P_{\text{construir}} = 1{,}400{,}000 \quad\text{(pago no ano 0).}
Comparação:
P_{\text{construir}} = 1{,}400{,}000 \quad\text{vs}\quad P_{\text{não construir}} \approx 1{,}619{,}576{,}66.ã
Como \$1{,}400{,}000 < \$1{,}619{,}576{,}66, construir a ponte é economicamente vantajoso no período de estudo de 10 anos à taxa de 10\%.
Economia presente aproximada ao construir:
\Delta P \approx 1{,}619{,}576{,}66 - 1{,}400{,}000 \approx 219{,}576{,}66.

Resposta

Construir a ponte.
P_{\text{não construir}}\approx \$1{,}619{,}576{,}66ã
P_{\text{construir}}=\$1{,}400{,}000
Economia presente aproximada \approx \$219{,}576{,}66.

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