3.36 A Burlington Northern está considerando a eliminação de uma passagem de nível em uma ferrovia e a construção de uma ponte sobre os trilhos com duas mãos de direção. A ferrovia subcontrata a manutenção dos portões de sua passagem de nível a
11.500
1.000 ao ano em um futuro previsível (ou seja, $12.500 daqui a 4 anos,
13.500
1,4 milhão (agora), mas eliminará 100% das colisões entre automóveis e trens, que têm um custo de
250.000
10 %$ ao ano, determine se a ferrovia deve ou não construir a ponte.
Passo 1
Vou deixar bem claro o que o enunciado fornece e o que é pedido.
Dados fornecidos:
- Custo atual da manutenção dos portões:
por ano (pagamentos anuais). - A partir de daqui a 4 anos os custos aumentarão em
por ano de forma previsível (ou seja: ano 4 , ano 5 , …, até o fim do horizonte). - Custo das colisões (se a passagem não for eliminada):
por ano (todo ano enquanto a passagem existir). - Custo de construir a ponte (se construída agora):
pago agora (ano 0). - Período de estudo:
anos. - Taxa de juros (taxa mínima de atratividade):
ao ano.
O que o enunciado pede:
- Determinar, usando o período de estudo de
anos e , se a ferrovia deve construir a ponte ou não — isto é, comparar economicamente as duas alternativas (construir agora ou não construir) e tomar a decisão baseada no valor presente.
Observação sobre o cronograma de pagamentos (assunção padrão): os pagamentos anuais (manutenção e custo de colisões) são assumidos como pagamentos ao final de cada ano, nos anos
. O custo da ponte é pago agora (ano
).
Passo 2
Estratégia de solução (fórmula e conceito que vamos usar).
Explicando o método do valor presente (PV), passo a passo e de forma bem didática:
- A ideia é trazer todos os fluxos de caixa futuros a valor presente (ano
) usando a taxa de desconto . O projeto que tiver menor custo presente é o preferível. - Para um pagamento uniforme anual
por anos (anuuidade), o valor presente é dado por
Aqui
é a quantia paga ao final de cada ano,
é a taxa por período,
é o número de anos. A fração
é o fator
(fator de presente de uma anuidade).
- Para uma série aritmética (quando o pagamento aumenta linearmente todo ano), é prático decompor o fluxo em duas partes: uma anuidade constante e um “gradiente” (a parte que aumenta linearmente). Depois somamos os presentes dessas duas partes.
- Se a parte crescente tem incremento
por ano e começa no segundo termo da sequência (isto é, pagamentos do tipo ), podemos escrever a parte gradiente como soma e usar uma fórmula fechada. Mas aqui eu vou decompor e usar a fórmula conhecida para a anuidade e a soma do gradiente, e mostrar como aplicá-las numericamente (sem pular passos).
- Se a parte crescente tem incremento
Vamos aplicar isso:
- Calcular
: por ano por anos. - Calcular
: sequência composta por: - anos
a : por ano (anuuidade por anos); - anos
a : começar em no ano 4 e aumentar por ano até o ano 10 (são pagamentos: anos 4…10). Decomponho isso em uma anuidade constante de por anos mais um gradiente com incrementos por ano.
- anos
- Calcular
. - Comparar com
(pagamento no ano 0). Se então construir é economicamente vantajoso.
Passo 3
Calcular o valor presente dos custos com colisões.
Pagamento anual
por
anos, taxa
. Usamos a fórmula de anuidade:
Primeiro calcule o fator anuidade:
Portanto
Arredondando para centavos:
.
Passo 4
Calcular o valor presente dos custos de manutenção (parte complicada, passo a passo).
Dividimos em duas partes:
Parte A — anos 1 a 3: pagamento anual constante
por
anos.
Calculemos o fator:
Logo
Parte B — anos 4 a 10: pagamentos são
no ano 4,
no ano 5, …, até ano 10 ($12{,}500 + $1{,}000\cdot(k-1) para k=1…7 correspondendo a anos 4…10). São 7 pagamentos. Decomponho em:
- uma anuidade constante de
por 7 anos (valores nos anos 4…10), - mais um gradiente com incrementos de
por ano, cujo primeiro incremento aparece no ano 5 (o termo associado ao ano 4 é zero incremento).
- Valor no instante imediatamente antes do ano 4 (ou seja, valor presente dos anos 4…10 trazido para o tempo 3) da anuidade
por 7 anos:
O fator anuidade para
é aproximadamente
. Então
- Valor no tempo 3 da parte gradiente (
):
Queremos
(onde o índice
corresponde ao ano 4, por isso o multiplicador é
). Para não pular etapas, convertemos essa soma em forma fechada. Com
e usando a soma conhecida
tomamos
(pois há termos
a
quando reindexamos) e obtemos numericamente
Portanto
- Soma no tempo 3 (anos 4…10):
Agora trazemos esse valor do tempo 3 para o tempo 0 (descontando 3 anos a
):
Finalmente, o valor presente total da manutenção (somando parte A e parte B):
Arredondando,
(aprox.
).
Passo 5
Somar os componentes e comparar com o custo da ponte.
Valor presente se não construir (pagar manutenção + colisões):
Assim, ao trazer tudo a valor presente no ano 0, o custo esperado de NÃO construir a ponte durante 10 anos é cerca de
.
Custo presente de construir a ponte agora:
Comparação:
Como
, construir a ponte é economicamente vantajoso no período de estudo de 10 anos à taxa de
.
Economia presente aproximada ao construir:
Resposta
Construir a ponte.
Economia presente aproximada .
Economia presente aproximada