3a Questão (8 pontos)

Enuncie e demonstre o Teorema da Superposição.

Passo 1

O enunciado pede que a gente enuncie e demonstre o Teorema da Superposição, tema de Análise de Circuitos em que exploramos o fato de que os elementos do circuito obedecem a leis lineares (Lei de Ohm, Leis de Kirchhoff). Para isso, vamos precisar do conceito de sistema linear de equações e da propriedade de linearidade (superposição de soluções).

Passo 2

Enunciado do Teorema da Superposição:
Em qualquer circuito linear que contenha múltiplas fontes independentes, a tensão ou a corrente em qualquer elemento do circuito é igual à soma algébrica das contribuições produzidas por cada fonte atuando isoladamente, sendo que, ao isolar uma fonte, as demais são “desligadas” de acordo com:
bul<=t fonte de tensão ideal to curto-circuito (tensão zero),
bul<=t fonte de corrente ideal to circuito aberto (corrente zero).

Passo 3

Modelagem matricial:
Seja um circuito cujo comportamento possa ser expresso por
A,x = b,
onde
  • A é a matriz dos coeficientes (resistências, impedâncias, etc.),
  • x é o vetor das incógnitas (tensões nos nós ou correntes nas malhas),
  • b é o vetor resultante das fontes independentes.
    Note que A independe das fontes — ela é fixa pelo circuito.

Passo 4

Aplicação da linearidade:
Como b resulta da soma das ações das n fontes independentes, escrevemos
b = sumi=1^nbi,
onde bi é o vetor que corresponde à fonte i atuando sozinha (as outras zeradas). Pela teoria de sistemas lineares, a solução é
x ;=; A^-1,b ;=;A^-1sumi=1^nbi ;=;sumi=1^nl(A^-1bir) ;=;sumi=1^nxi,
onde cada xi satisfaz A,xi=bi. Cada xi é exatamente a resposta do circuito com somente a fonte i ligada.

Passo 5

Interpretação circuital do “desligar” fontes:
  • Para obter bi fazemos:
    bul<=t desligar demais fontes de tensão to substituí-las por curto,
    bul<=t desligar demais fontes de corrente to substituí-las por circuito aberto.
  • Calculamos a resposta xi nesse circuito reduzido.
  • Somamos todas as xi para obter a resposta total x.

Resposta

O Teorema da Superposição afirma que, em um circuito linear com várias fontes independentes, a tensão ou a corrente num elemento qualquer é a soma algébrica das tensões ou correntes produzidas por cada fonte isolada, com as demais fontes “desligadas” (tensão-zero para fontes de tensão e corrente-zero para fontes de corrente).

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