3a Questão (8 pontos)
Enuncie e demonstre o Teorema da Superposição.
Passo 1
O enunciado pede que a gente enuncie e demonstre o Teorema da Superposição, tema de Análise de Circuitos em que exploramos o fato de que os elementos do circuito obedecem a leis lineares (Lei de Ohm, Leis de Kirchhoff). Para isso, vamos precisar do conceito de sistema linear de equações e da propriedade de linearidade (superposição de soluções).
Passo 2
Enunciado do Teorema da Superposição:
Em qualquer circuito linear que contenha múltiplas fontes independentes, a tensão ou a corrente em qualquer elemento do circuito é igual à soma algébrica das contribuições produzidas por cada fonte atuando isoladamente, sendo que, ao isolar uma fonte, as demais são “desligadas” de acordo com:
fonte de tensão ideal
curto-circuito (tensão zero),
fonte de corrente ideal
circuito aberto (corrente zero).
Em qualquer circuito linear que contenha múltiplas fontes independentes, a tensão ou a corrente em qualquer elemento do circuito é igual à soma algébrica das contribuições produzidas por cada fonte atuando isoladamente, sendo que, ao isolar uma fonte, as demais são “desligadas” de acordo com:
Passo 3
Modelagem matricial:
Seja um circuito cujo comportamento possa ser expresso por
Seja um circuito cujo comportamento possa ser expresso por
onde
-
é a matriz dos coeficientes (resistências, impedâncias, etc.), -
é o vetor das incógnitas (tensões nos nós ou correntes nas malhas), -
é o vetor resultante das fontes independentes.
Note queindepende das fontes — ela é fixa pelo circuito.
Passo 4
Aplicação da linearidade:
Como resulta da soma das ações das
fontes independentes, escrevemos
Como
onde
é o vetor que corresponde à fonte
atuando sozinha (as outras zeradas). Pela teoria de sistemas lineares, a solução é
onde cada
satisfaz
. Cada
é exatamente a resposta do circuito com somente a fonte
ligada.
Passo 5
Interpretação circuital do “desligar” fontes:
- Para obter
fazemos:
desligar demais fontes de tensão substituí-las por curto,
desligar demais fontes de corrente substituí-las por circuito aberto. - Calculamos a resposta
nesse circuito reduzido. - Somamos todas as
para obter a resposta total .
Resposta
O Teorema da Superposição afirma que, em um circuito linear com várias fontes independentes, a tensão ou a corrente num elemento qualquer é a soma algébrica das tensões ou correntes produzidas por cada fonte isolada, com as demais fontes “desligadas” (tensão-zero para fontes de tensão e corrente-zero para fontes de corrente).