Determinar uma raiz positiva da função f(x)=x-cos (x), usando x0=0,7 e x1=0,8 pelo método das secantes. Considere o erro como epsilon=10^-3. obs.: Usar 4 casas decimais.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar uma raiz positiva da função
f(x)=x-cos(x)
usando o método das secantes com os palpites iniciais x0=0,7 e x1=0,8, até que a diferença entre iterações seja menor que epsilon=10^-3.

Passo 2

A fórmula do método das secantes é
xn+1 = xn - f(xn),(xn-xn-1)f(xn)-f(xn-1)
Vamos aplicar essa fórmula sucessivamente, arredondando cada xn a quatro casas decimais.

Passo 3

Calculamos f(x0) e f(x1):
f(0,7)=0,7-cos(0,7)approx 0,7 - 0,7648 = -0,0648,
f(0,8)=0,8-cos(0,8)approx 0,8 - 0,6967 = 0,1033

Passo 4

Aplicando a secante para obter x2:
x2 = 0,8 - 0,1033,(0,8-0,7)0,1033 - (-0,0648) approx 0,8 - 0,1033cdot0,10,1681 approx 0,7385
Para conferir,
f(0,7385)=0,7385-cos(0,7385)approx 0,7385 - 0,7395 = -0,0010
Como |x2-x1|=|0,7385-0,8|=0,0615>epsilon, continuamos.

Passo 5

Agora calculamos x3:
x3 = 0,7385 - (-0,0010),(0,7385-0,8)-0,0010 - 0,1033 approx 0,7385 + 0,0005 = 0,7391
Verificamos a diferença
|x3-x2|=|0,7391-0,7385|=0,0006<10^-3,
logo a convergência foi alcançada.

Resposta

A raiz positiva aproximada é xapprox0,7391.

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