[4] Dada f(x)=ln (x)+x-4, pede-se:
(a) Mostre que f tem um único zero em I=[2,4].
(b) Calcule uma aproximação para a raiz de f usando o método da Falsa Posição. Use como critérios de parada n=4 ou até com epsilon=0.05, f.
© Calcule uma aproximação para a raiz de utilizando o método de Newton e quatro iterações. Compare os resultados com os métodos de Newton Modificado e Secante.

Passo 1

Beleza, o exercício é sobre achar o zero (a raiz) da função
f(x)=ln(x)+x-4
no intervalo . A matéria envolvida aqui é “Métodos Numéricos para Equações Não Lineares” e também o teorema do valor intermediário e noção de monotonicidade. Vamos precisar de:
• Saber que é contínua e crescer;
• Teorema do Valor Intermediário (se e contínua, existe raiz em );
• Derivada para ver que é estritamente crescente (→ raiz única);
• Fórmulas dos métodos: Falsa Posição, Newton, Newton Modificado e Secante.

Passo 2

(a) Existência e unicidade da raiz em f(2)=ln(2)+2-4approx0,693+2-4=-1,307<0,
  1. Calculo rápido:
f(4)=ln(4)+4-4approx1,386+0=1,386>0
  1. Como é contínua, por Teorema do Valor Intermediário existe ao menos uma raiz em .
  2. Como para todo , é estritamente crescente → só tem UMA raiz.

Passo 3

(b) Método da Falsa Posição ( xrm new = b - f(b)b-af(b)-f(a) ou até x1=4 - 1,386;4-21,386 - (-1,307)approx2,9706, )
Definição geral: dados f(x1)=ln(2,9706)+2,9706-4approx0,0586>0 com x2=2,9706 - 0,0586;2,9706-20,0586 - (-1,307)approx2,9289, , a nova aproximação é
f(x2)approx0,0040,
Começamos com xapprox2,9289 , .
Iteração 1:
Como e , o novo intervalo é .
Iteração 2:
e , então já paramos (critério de erro).
Aprox. pela Falsa Posição:

Passo 4

© Método de Newton, Newton Modificado e Secante (4 iterações cada)
  1. Newton
    Fórmula:
xn+1=xn - f(xn)f'(xn), f'(x)=1x+1
Escolhendo f'(4)=1,25 :
iter 1: xn+1 = xn - f(xn),xn - xn-1f(xn)-f(xn-1)
iter 2:
iter 3:
iter 4: .
  1. Newton Modificado
    Mesma fórmula, mas uso de fixo em todas as iterações:
iter 1:
iter 2:
iter 3:
iter 4: .
  1. Secante
    Fórmula:
Começando com , :
iter 1:
iter 2:
iter 3:
(iter 4 nem muda praticamente).
Comparação rápida:
• Falsa Posição ≈ 2,9289
• Newton ≈ 2,9259 (mais rápido)
• Newton Modificado ≈ 2,9260
• Secante ≈ 2,9258

Resposta

A raiz de x^*approx2,926 em é única e, numericamente, vale aproximadamente
Entre os métodos testados, Newton puro foi o que convergiu mais rápido (4 iterações para 5 casas iniciais), seguido pelo Secante e Newton Modificado, enquanto a Falsa Posição demorou um pouco mais para chegar na mesma precisão.

Exercícios relacionados