Beleza, o exercício é sobre achar o zero (a raiz) da função
no intervalo . A matéria envolvida aqui é “Métodos Numéricos para Equações Não Lineares” e também o teorema do valor intermediário e noção de monotonicidade. Vamos precisar de:
• Saber que é contínua e crescer;
• Teorema do Valor Intermediário (se e contínua, existe raiz em );
• Derivada para ver que é estritamente crescente (→ raiz única);
• Fórmulas dos métodos: Falsa Posição, Newton, Newton Modificado e Secante.
Passo 2
(a) Existência e unicidade da raiz em
Calculo rápido:
Como é contínua, por Teorema do Valor Intermediário existe ao menos uma raiz em .
Como para todo , é estritamente crescente → só tem UMA raiz.
Passo 3
(b) Método da Falsa Posição ( ou até )
Definição geral: dados com , a nova aproximação é
Começamos com , .
Iteração 1:
Como e , o novo intervalo é .
Iteração 2:
e , então já paramos (critério de erro).
Aprox. pela Falsa Posição:
Escolhendo f'(4)=1,25 :
iter 1: xn+1 = xn - f(xn),xn - xn-1f(xn)-f(xn-1)
iter 2:
iter 3:
iter 4: .
Newton Modificado
Mesma fórmula, mas uso de fixo em todas as iterações:
iter 1:
iter 2:
iter 3:
iter 4: .
Secante
Fórmula:
Começando com , :
iter 1:
iter 2:
iter 3:
(iter 4 nem muda praticamente).
Comparação rápida:
• Falsa Posição ≈ 2,9289
• Newton ≈ 2,9259 (mais rápido)
• Newton Modificado ≈ 2,9260
• Secante ≈ 2,9258
Resposta
A raiz de x^*approx2,926 em é única e, numericamente, vale aproximadamente
Entre os métodos testados, Newton puro foi o que convergiu mais rápido (4 iterações para 5 casas iniciais), seguido pelo Secante e Newton Modificado, enquanto a Falsa Posição demorou um pouco mais para chegar na mesma precisão.