[8] O valor de
pode ser obtido por meio da resolução das seguintes equações:
e
.
(a) Aplique o método de Newton e o método de Newton Modificado, com
e precisão
ou 4 iterações, em cada caso e compare os resultados obtidos. Avalie
a cada iteração.
(b) Analise cada caso e verifique se o método da bisecção pode ser aplicado na resolução.
(a) Aplique o método de Newton e o método de Newton Modificado, com
(b) Analise cada caso e verifique se o método da bisecção pode ser aplicado na resolução.
Passo 1
Então, o que a gente tem aqui? O enunciado diz que dá pra achar o valor de π resolvendo duas equações:
- sin(x)=0
- cos(x)+1=0
a) A gente vai usar o método de Newton e também a versão “modificada” do método de Newton, partindo de x₀=3, parando com precisão de 10⁻² ou depois de 4 iterações (o que vier primeiro). Em cada iteração, a gente mostra |f(xₙ)|.
b) Depois, a gente vê se dá pra usar o método da bissecção em cada uma dessas equações.
b) Depois, a gente vê se dá pra usar o método da bissecção em cada uma dessas equações.
Conteúdo: métodos numéricos de raiz (Newton, Newton modificado, bissecção), derivadas e noções de multiplicidade de raízes. A gente vai precisar:
- Fórmula de Newton:
- Para Newton modificado (quando a raiz tem multiplicidade m):
- Saber derivar sin(x) e cos(x).
Passo 2
Teoria básica do Método de Newton (MN):
- A gente aproxima o gráfico de f(x) por sua reta tangente em xₙ. O ponto onde a reta cruza o eixo x é a próxima aproximação xₙ₊₁.
- Precisamos de f(x) e f′(x).
- Convergência é quadrática se a raiz for simples (derivada ≠ 0 no zero).
Newton modificado (para raiz de multiplicidade m>1):
- Se a raiz α é tal que f(α)=0 e f′(α)=0…=f^{(m−1)}(α)=0 mas f^{(m)}(α)≠0, a convergência do MN cai para linear.
- A correção é usar x_{n+1}=x_n − m f(x_n)/f′(x_n), o que restaura ordem 2.
Agora vamos aplicar isso em cada função.
Passo 3
Equação 1: f(x)=sin(x)=0 (raiz α=π≈3.1416, simples)
Derivada: f′(x)=cos(x).
Newton modificado com m=1 é igual ao Newton normal, mas a gente faz de todo jeito para comparar.
Newton modificado com m=1 é igual ao Newton normal, mas a gente faz de todo jeito para comparar.
Tabela de iterações (parada |f(xₙ)|<10⁻² ou 4 iterações):
Método de Newton (m=1)
n | xₙ | f(xₙ)=sin(xₙ) | f(xₙ) | xₙ₊₁ = xₙ − f/f′ | ||
---|---|---|---|---|---|---|
0 | 3,00000 | 0,14112 | 0,14112 | 3 − 0,14112/(cos3) ≈ 3,14260 | ||
1 | 3,14260 | sin(3,14260)≈−0,000997 | 0,000997 | 3,14260 −(−0,000997)/(−0,9999995) ≈ 3,14159 | ||
2 | 3,14159 | ≈−2,6·10⁻⁷ | 2,6·10⁻⁷ | … (já <10⁻², paramos aqui) |
Newton modificado (m=1)
Como m=1, a fórmula dá o mesmo:
Como m=1, a fórmula dá o mesmo:
n | xₙ | f(xₙ) | ||
---|---|---|---|---|
0 | 3,00000 | 0,14112 | → x₁ ≈3,14260 (mesma conta) | |
1 | 3,14260 | 0,000997 | → x₂ ≈3,14159 |
Conclusão para sin(x)=0:
- Newton leva 2 iterações pra |f|<10⁻².
- Newton modificado (m=1) se comporta igual.
Passo 4
Equação 2: g(x)=cos(x)+1=0 → raiz α=π, mas com multiplicidade m=2 (porque em torno de π, g(x)≈(x−π)²/2).
Derivada: g′(x)=−sin(x).
- Método de Newton (m=1 de verdade):
n | xₙ | g(xₙ)=cos(xₙ)+1 | g(xₙ) | xₙ₊₁ = xₙ − g/g′ | ||
---|---|---|---|---|---|---|
0 | 3,00000 | −0,98999+1=0,01001 | 0,01001 | 3 − 0,01001/(−sin3) = 3 +0,01001/0,14112 ≈ 3,07092 | ||
1 | 3,07092 | cos(3,07092)+1≈0,00251 | 0,00251 | 3,07092 −0,00251/(−0,07071) ≈ 3,10634 | ||
2 | 3,10634 | ≈0,00040 | 0,00040 | 3,10634 +0,00040/0,03568 ≈ 3,11755 | ||
3 | 3,11755 | ≈5·10⁻⁶ | 5·10⁻⁶ | … (já <10⁻² desde a 1ª iteração) | ||
Aqui, já em x₁ temos | g(x₁) | ≈0,0025<10⁻². |
- Newton modificado (m=2):
Fórmula: xₙ₊₁ = xₙ − 2·g(xₙ)/g′(xₙ).
n | xₙ | g(xₙ) | xₙ₊₁ | ||
---|---|---|---|---|---|
0 | 3,00000 | 0,01001 | 3 −2·0,01001/(−0,14112) = 3 +0,1416 ≈ 3,14159 | ||
1 | 3,14159 | cos(3,14159)+1≈(praticamente 0) | convergiu | ||
Aqui já em 1 iteração a gente tá praticamente em π, | g | <10⁻². |
Passo 5
Análise do método da bissecção:
- Para sin(x)=0: escolho intervalo [3,4]. sin(3)=+0,141>0, sin(4)=−0,757<0 → tem troca de sinal → a bissecção vale.
- Para cos(x)+1=0: g(x)=cos(x)+1 ≥0 pra todo x, só zera em π (multiplicidade 2). Não há mudança de sinal em nenhum intervalo (g nunca é negativo) → não posso aplicar bissecção de forma tradicional.
Resposta
-
Para sin(x)=0 (raiz simples π):
- Newton: levou 2 iterações (|f(x₂)|≈2,6·10⁻⁷ <10⁻²), x₂≈3,14159.
- Newton modificado (m=1): igual Newton.
- Bissecção: aplicável (ex. em [3,4]).
-
Para cos(x)+1=0 (raiz dupla π):
- Newton: em 1ª iteração já chega a |g(x₁)|≈0,0025<10⁻², x₁≈3,0709 (converge lentamente depois).
- Newton modificado (m=2): em 1 iteração chega a x₁≈3,14159, |g|≃0.
- Bissecção: não aplicável (não há troca de sinal).