[8] O valor de pi pode ser obtido por meio da resolução das seguintes equações: sin (x)=0 e cos (x)+1=0.
(a) Aplique o método de Newton e o método de Newton Modificado, com x0=3 e precisão 10^-2 ou 4 iterações, em cada caso e compare os resultados obtidos. Avalie a cada iteração.
(b) Analise cada caso e verifique se o método da bisecção pode ser aplicado na resolução.

Passo 1

Então, o que a gente tem aqui? O enunciado diz que dá pra achar o valor de π resolvendo duas equações:
  1. sin(x)=0
  2. cos(x)+1=0
a) A gente vai usar o método de Newton e também a versão “modificada” do método de Newton, partindo de x₀=3, parando com precisão de 10⁻² ou depois de 4 iterações (o que vier primeiro). Em cada iteração, a gente mostra |f(xₙ)|.
b) Depois, a gente vê se dá pra usar o método da bissecção em cada uma dessas equações.
Conteúdo: métodos numéricos de raiz (Newton, Newton modificado, bissecção), derivadas e noções de multiplicidade de raízes. A gente vai precisar:
  • Fórmula de Newton: xn+1 = xn - f(xn)f'(xn)
  • Para Newton modificado (quando a raiz tem multiplicidade m): xn+1 = xn - m,f(xn)f'(xn)
  • Saber derivar sin(x) e cos(x).

Passo 2

Teoria básica do Método de Newton (MN):
  • A gente aproxima o gráfico de f(x) por sua reta tangente em xₙ. O ponto onde a reta cruza o eixo x é a próxima aproximação xₙ₊₁.
  • Precisamos de f(x) e f′(x).
  • Convergência é quadrática se a raiz for simples (derivada ≠ 0 no zero).
Newton modificado (para raiz de multiplicidade m>1):
  • Se a raiz α é tal que f(α)=0 e f′(α)=0…=f^{(m−1)}(α)=0 mas f^{(m)}(α)≠0, a convergência do MN cai para linear.
  • A correção é usar x_{n+1}=x_n − m f(x_n)/f′(x_n), o que restaura ordem 2.
Agora vamos aplicar isso em cada função.

Passo 3

Equação 1: f(x)=sin(x)=0 (raiz α=π≈3.1416, simples)
Derivada: f′(x)=cos(x).
Newton modificado com m=1 é igual ao Newton normal, mas a gente faz de todo jeito para comparar.
Tabela de iterações (parada |f(xₙ)|<10⁻² ou 4 iterações):
Método de Newton (m=1)
n xₙ f(xₙ)=sin(xₙ) f(xₙ) xₙ₊₁ = xₙ − f/f′
0 3,00000 0,14112 0,14112 3 − 0,14112/(cos3) ≈ 3,14260
1 3,14260 sin(3,14260)≈−0,000997 0,000997 3,14260 −(−0,000997)/(−0,9999995) ≈ 3,14159
2 3,14159 ≈−2,6·10⁻⁷ 2,6·10⁻⁷ … (já <10⁻², paramos aqui)
Newton modificado (m=1)
Como m=1, a fórmula dá o mesmo:
n xₙ f(xₙ)
0 3,00000 0,14112 → x₁ ≈3,14260 (mesma conta)
1 3,14260 0,000997 → x₂ ≈3,14159
Conclusão para sin(x)=0:
  • Newton leva 2 iterações pra |f|<10⁻².
  • Newton modificado (m=1) se comporta igual.

Passo 4

Equação 2: g(x)=cos(x)+1=0 → raiz α=π, mas com multiplicidade m=2 (porque em torno de π, g(x)≈(x−π)²/2).
Derivada: g′(x)=−sin(x).
  1. Método de Newton (m=1 de verdade):
n xₙ g(xₙ)=cos(xₙ)+1 g(xₙ) xₙ₊₁ = xₙ − g/g′
0 3,00000 −0,98999+1=0,01001 0,01001 3 − 0,01001/(−sin3) = 3 +0,01001/0,14112 ≈ 3,07092
1 3,07092 cos(3,07092)+1≈0,00251 0,00251 3,07092 −0,00251/(−0,07071) ≈ 3,10634
2 3,10634 ≈0,00040 0,00040 3,10634 +0,00040/0,03568 ≈ 3,11755
3 3,11755 ≈5·10⁻⁶ 5·10⁻⁶ … (já <10⁻² desde a 1ª iteração)
Aqui, já em x₁ temos g(x₁) ≈0,0025<10⁻².
  1. Newton modificado (m=2):
    Fórmula: xₙ₊₁ = xₙ − 2·g(xₙ)/g′(xₙ).
n xₙ g(xₙ) xₙ₊₁
0 3,00000 0,01001 3 −2·0,01001/(−0,14112) = 3 +0,1416 ≈ 3,14159
1 3,14159 cos(3,14159)+1≈(praticamente 0) convergiu
Aqui já em 1 iteração a gente tá praticamente em π, g <10⁻².

Passo 5

Análise do método da bissecção:
  • Para sin(x)=0: escolho intervalo [3,4]. sin(3)=+0,141>0, sin(4)=−0,757<0 → tem troca de sinal → a bissecção vale.
  • Para cos(x)+1=0: g(x)=cos(x)+1 ≥0 pra todo x, só zera em π (multiplicidade 2). Não há mudança de sinal em nenhum intervalo (g nunca é negativo) → não posso aplicar bissecção de forma tradicional.

Resposta

  1. Para sin(x)=0 (raiz simples π):
    • Newton: levou 2 iterações (|f(x₂)|≈2,6·10⁻⁷ <10⁻²), x₂≈3,14159.
    • Newton modificado (m=1): igual Newton.
    • Bissecção: aplicável (ex. em [3,4]).
  2. Para cos(x)+1=0 (raiz dupla π):
    • Newton: em 1ª iteração já chega a |g(x₁)|≈0,0025<10⁻², x₁≈3,0709 (converge lentamente depois).
    • Newton modificado (m=2): em 1 iteração chega a x₁≈3,14159, |g|≃0.
    • Bissecção: não aplicável (não há troca de sinal).

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