[5] A função f(x)=x e^-x-e^-3, x in R, possui duas raízes reais: alpha1 in[0.001,1] e alpha2 in[4,5]. Considere as funções phi1(x)=e^x-3 e phi2(x)=ln (x)+3.
(a) A função phi1 pode ser usada para aproximar alpha1 pelo Método das Aproximações Sucessivas com garantia de convergência? E a função phi2 ? Justifique e faça três iterações do método.
(b) A função phi1 pode ser usada para aproximar alpha2 pelo Método das Aproximações Sucessivas com garantia de convergência? E a função phi2 ? Justifique e faça três iterações do método.

Passo 1

Beleza, o problema diz que temos
• a função f(x)=x e(–x)–e(–3), cujas raízes α₁∈[0.001,1] e α₂∈[4,5];
• duas propostas de função de iteração fixa: φ₁(x)=e^(x–3) e φ₂(x)=ln(x)+3.
Conteúdo: Método das Aproximações Sucessivas (ou ponto fixo).
– Vamos usar o critério de contração: se |φ′(x)|≤k<1 em todo o intervalo e φ(mín)≥mím e φ(max)≤máx, então converge.
– Precisamos calcular φ′, ver se |φ′|<1 e checar que φ manda o intervalo em si mesmo.
– Depois, se rolar, fazemos 3 iterações x_{n+1}=φ(x_n).

Passo 2

Parte (a), testar φ₁ em [0.001,1]:
  1. Derivada φ₁′(x)=e^(x–3).
  2. Em x∈[0.001,1], e^(x–3) varia de e^(–2.999)≈0.050 a e^(–2)≈0.135, logo |φ₁′(x)|≤0.135<1.
  3. Imagem das extremidades:
    φ₁(0.001)=e^(–2.999)≈0.050 (ficou ≥0.001)
    φ₁(1)=e^(–2)≈0.135 (ficou ≤1)
    ⇒ φ₁ é contração em [0.001,1] e mapeia o intervalo nele mesmo. Converge com garantia.

Passo 3

Fazer 3 iterações com φ₁, escolhemos x₀=0.5 (qualquer em [0.001,1]):
x₁=φ₁(0.5)=e(0.5–3)=e(–2.5)≈0.082085
x₂=φ₁(0.082085)=e^(–2.917915)≈0.053646
x₃=φ₁(0.053646)=e^(–2.946354)≈0.052525

Passo 4

Ainda parte (a), testar φ₂ em [0.001,1]:
  1. Derivada φ₂′(x)=1/x.
  2. Em [0.001,1], 1/x varia de 1 a 1000 ⇒ |φ₂′(x)|>1.
    ⇒ não é contração, sem garantia de convergência.

Passo 5

Parte (b), testar φ₁ em [4,5]:
  1. φ₁′(x)=e^(x–3) varia de e^1≈2.718 a e^2≈7.389, |φ₁′|>1
    ⇒ não é contração, não dá garantia.

Passo 6

Parte (b), testar φ₂ em [4,5]:
  1. φ₂′(x)=1/x varia de 1/5=0.2 a 1/4=0.25, logo |φ₂′(x)|≤0.25<1.
  2. Imagem das extremidades:
    φ₂(4)=ln(4)+3≈1.386+3=4.386 (∈[4,5])
    φ₂(5)=ln(5)+3≈1.609+3=4.609 (∈[4,5])
    ⇒ φ₂ é contração em [4,5] e mapeia o intervalo nele mesmo. Converge com garantia.
Fazendo 3 iterações com x₀=4.5:
x₁=φ₂(4.5)=ln(4.5)+3≈1.504077+3=4.504077
x₂=φ₂(4.504077)=ln(4.504077)+3≈1.504216+3=4.504216
x₃=φ₂(4.504216)=ln(4.504216)+3≈1.504242+3=4.504242

Resposta

(a) Em [0.001,1] somente φ₁ converge com garantia; φ₂ não. Iterações φ₁:
x₁≈0.082085, x₂≈0.053646, x₃≈0.052525.
(b) Em [4,5] somente φ₂ converge com garantia; φ₁ não. Iterações φ₂:
x₁≈4.504077, x₂≈4.504216, x₃≈4.504242.

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