[5] A função
, possui duas raízes reais:
e
. Considere as funções
e
.
(a) A função
pode ser usada para aproximar
pelo Método das Aproximações Sucessivas com garantia de convergência? E a função
? Justifique e faça três iterações do método.
(b) A função
pode ser usada para aproximar
pelo Método das Aproximações Sucessivas com garantia de convergência? E a função
? Justifique e faça três iterações do método.
(a) A função
(b) A função
Passo 1
Beleza, o problema diz que temos
• a função f(x)=x e(–x)–e(–3), cujas raízes α₁∈[0.001,1] e α₂∈[4,5];
• duas propostas de função de iteração fixa: φ₁(x)=e^(x–3) e φ₂(x)=ln(x)+3.
• a função f(x)=x e(–x)–e(–3), cujas raízes α₁∈[0.001,1] e α₂∈[4,5];
• duas propostas de função de iteração fixa: φ₁(x)=e^(x–3) e φ₂(x)=ln(x)+3.
Conteúdo: Método das Aproximações Sucessivas (ou ponto fixo).
– Vamos usar o critério de contração: se |φ′(x)|≤k<1 em todo o intervalo e φ(mín)≥mím e φ(max)≤máx, então converge.
– Precisamos calcular φ′, ver se |φ′|<1 e checar que φ manda o intervalo em si mesmo.
– Depois, se rolar, fazemos 3 iterações x_{n+1}=φ(x_n).
– Vamos usar o critério de contração: se |φ′(x)|≤k<1 em todo o intervalo e φ(mín)≥mím e φ(max)≤máx, então converge.
– Precisamos calcular φ′, ver se |φ′|<1 e checar que φ manda o intervalo em si mesmo.
– Depois, se rolar, fazemos 3 iterações x_{n+1}=φ(x_n).
Passo 2
Parte (a), testar φ₁ em [0.001,1]:
- Derivada φ₁′(x)=e^(x–3).
- Em x∈[0.001,1], e^(x–3) varia de e^(–2.999)≈0.050 a e^(–2)≈0.135, logo |φ₁′(x)|≤0.135<1.
- Imagem das extremidades:
φ₁(0.001)=e^(–2.999)≈0.050 (ficou ≥0.001)
φ₁(1)=e^(–2)≈0.135 (ficou ≤1)
⇒ φ₁ é contração em [0.001,1] e mapeia o intervalo nele mesmo. Converge com garantia.
Passo 3
Fazer 3 iterações com φ₁, escolhemos x₀=0.5 (qualquer em [0.001,1]):
x₁=φ₁(0.5)=e(0.5–3)=e(–2.5)≈0.082085
x₂=φ₁(0.082085)=e^(–2.917915)≈0.053646
x₃=φ₁(0.053646)=e^(–2.946354)≈0.052525
x₁=φ₁(0.5)=e(0.5–3)=e(–2.5)≈0.082085
x₂=φ₁(0.082085)=e^(–2.917915)≈0.053646
x₃=φ₁(0.053646)=e^(–2.946354)≈0.052525
Passo 4
Ainda parte (a), testar φ₂ em [0.001,1]:
- Derivada φ₂′(x)=1/x.
- Em [0.001,1], 1/x varia de 1 a 1000 ⇒ |φ₂′(x)|>1.
⇒ não é contração, sem garantia de convergência.
Passo 5
Parte (b), testar φ₁ em [4,5]:
- φ₁′(x)=e^(x–3) varia de e^1≈2.718 a e^2≈7.389, |φ₁′|>1
⇒ não é contração, não dá garantia.
Passo 6
Parte (b), testar φ₂ em [4,5]:
- φ₂′(x)=1/x varia de 1/5=0.2 a 1/4=0.25, logo |φ₂′(x)|≤0.25<1.
- Imagem das extremidades:
φ₂(4)=ln(4)+3≈1.386+3=4.386 (∈[4,5])
φ₂(5)=ln(5)+3≈1.609+3=4.609 (∈[4,5])
⇒ φ₂ é contração em [4,5] e mapeia o intervalo nele mesmo. Converge com garantia.
Fazendo 3 iterações com x₀=4.5:
x₁=φ₂(4.5)=ln(4.5)+3≈1.504077+3=4.504077
x₂=φ₂(4.504077)=ln(4.504077)+3≈1.504216+3=4.504216
x₃=φ₂(4.504216)=ln(4.504216)+3≈1.504242+3=4.504242
x₁=φ₂(4.5)=ln(4.5)+3≈1.504077+3=4.504077
x₂=φ₂(4.504077)=ln(4.504077)+3≈1.504216+3=4.504216
x₃=φ₂(4.504216)=ln(4.504216)+3≈1.504242+3=4.504242
Resposta
(a) Em [0.001,1] somente φ₁ converge com garantia; φ₂ não. Iterações φ₁:
x₁≈0.082085, x₂≈0.053646, x₃≈0.052525.
x₁≈0.082085, x₂≈0.053646, x₃≈0.052525.
(b) Em [4,5] somente φ₂ converge com garantia; φ₁ não. Iterações φ₂:
x₁≈4.504077, x₂≈4.504216, x₃≈4.504242.
x₁≈4.504077, x₂≈4.504216, x₃≈4.504242.