[10] O método de Müller para a determinação de raízes de equações é uma extensão do método da secante e pode ser utilizado para aproximar raízes complexas. A ideia é partir de três aproximações iniciais: e e calcular como a raiz da parábola que passa pelos pontos e . Para isso, considere a parábola, dada por: . As constantes e são determinadas pelas equações:
Para determinar e , substituímos nas equações (1) e (2) e dividindo as expressões, respectivamente, por e , obtemos:
Fazendo (4) - (5) obtemos , e . Substituindo na equação (4), obtemos . Note que as raízes de são dadas por,
Para evitar possíveis erros de arredondamento racionalizamos o numerador da expressão, ou seja, multiplicamos numerador e denominador por . Assim obtemos,
No Método de Müller a próxima aproximação da raiz é escolhida de acordo com o sinal do coeficiente . Esta escolha garante que o denominador será maior em magnitude e resultará na aproximação da raiz mais próxima da raiz anterior. Dessa forma,
sendo . Portanto, a sequência de aproximações é dada por,
O exercício pede para usarmos o método de Müller – que é uma generalização do método da secante, mas que ajusta uma parábola em três pontos para achar a próxima aproximação de raiz – e aplicá-lo a um polinômio de quarto grau
Conteúdo: método de Müller para achar raízes (reais e complexas) de uma equação algébrica.
O que vamos precisar:
As fórmulas do método (cálculo de e da atualização ).
Sinal de para achar intervalos que contenham cada raiz real.
Implementar (ou simular) iterações até ou .
Passo 2
Implementação do método de Müller – passo a passo
Suponha que estamos numa iteração com pontos q0 ;=;f(x0)-f(x2)x0-x2, q1 ;=;f(x1)-f(x2)x1-x2 . Definimos
A próxima aproximação é escolhida pela fórmula “racionalizada”
com .
Basta repetir: até atingir a tolerância.
Passo 3
Encontrar intervalos com raiz única de
p(x)=x^4-3x^3+x^2+x+1
A gente calcula sinais em vários pontos:
logo há raiz em .
logo há raiz em .
Nenhum outro intervalo muda de sinal em , então temos exatamente duas raízes reais nesses dois intervalos.
Passo 4
Aproximação das raízes reais com Müller
Escolhemos xreal,1approx1.39648, xreal,2approx2.30278 . Para cada intervalo fazemos três pontos iniciais – por exemplo – e iteramos o passo 2 até .
Isso dá, ao final,