[10] O método de Müller para a determinação de raízes de equações é uma extensão do método da secante e pode ser utilizado para aproximar raízes complexas. A ideia é partir de três aproximações iniciais: x0, x1 e x2 e calcular x3 como a raiz da parábola que passa pelos pontos a, b e c. Para isso, considere a parábola, dada por: f(x0)=a(x0-x2)^2+b(x0-x2)+c f(x1)=a(x1-x2)^2+b(x1-x2)+c f(x2)=a(x2-x2)^2+b(x2-x2)+c Longrightarrow c=f(x2) . As constantes a e b são determinadas pelas equações:
c
Para determinar & f(x0)-f(x2)x0-x2=a(x0-x2)+b, & f(x1)-f(x2)x1-x2=a(x1-x2)+b e a=q0-q1x0-x1, substituímos a nas equações (1) e (2) e dividindo as expressões, respectivamente, por p(x) e x-x2=-b pm raizb^2-4 a c2 a , obtemos:
-b mp raizb^2-4 a c
Fazendo (4) - (5) obtemos alpha1-x2=-2 cb+raizb^2-4 a c e alpha2-x2=-2 cb-raizb^2-4 a c , b e x3=x2-2 cb+sgn(b) raizb^2-4 a c . Substituindo sgn(b)=b /|b| na equação (4), obtemos xn+1=xn-2 cb+sgn(b) raizb^2-4 a c, para n=2,3, ldots . Note que as raízes de a, b são dadas por,
c
Para evitar possíveis erros de arredondamento racionalizamos o numerador da expressão, ou seja, multiplicamos numerador e denominador por x2=xn, x1=xn-1. Assim obtemos,
x0=xn-2
No Método de Müller a próxima aproximação da raiz é escolhida de acordo com o sinal do coeficiente x0, x1. Esta escolha garante que o denominador será maior em magnitude e resultará na aproximação da raiz mais próxima da raiz anterior. Dessa forma,
x2
sendo p(x)=x^4-3 x^3+. Portanto, a sequência de aproximações é dada por,
x^2+x+1
com os coeficientes p(x) e p(x), calculados com x0=-0.5, x1=0 e x2=0.5. Note que são necessárias três aproximações iniciais: |f(x)| e .
(a) Implemente o método de Müller para resolver uma equação algébrica.
(b) Determine intervalos que contenham uma única raiz, para aproximar as raízes reais de . Obs.: Um gráfico de pode auxiliar na determinação do intervalo que contém a raiz.
© Use o seu programa para aproximar as raízes reais e complexas do polinômio . Para a raiz complexa utilize e . Use como critérios de parada ou e escolha uma tolerância adequada.

Passo 1

O exercício pede para usarmos o método de Müller – que é uma generalização do método da secante, mas que ajusta uma parábola em três pontos para achar a próxima aproximação de raiz – e aplicá-lo a um polinômio de quarto grau
Conteúdo: método de Müller para achar raízes (reais e complexas) de uma equação algébrica.
O que vamos precisar:
  1. As fórmulas do método (cálculo de e da atualização ).
  2. Sinal de para achar intervalos que contenham cada raiz real.
  3. Implementar (ou simular) iterações até ou .

Passo 2

Implementação do método de Müller – passo a passo
Suponha que estamos numa iteração com pontos q0 ;=;f(x0)-f(x2)x0-x2, q1 ;=;f(x1)-f(x2)x1-x2 . Definimos
a=q0-q1x0-x1, b=q0,(x2-x1)+q1,(x0-x2)x0-x1, c=f(x2)
Então
x3 = x2 -2,c,b+sgn(b),raizb^2-4,a,c,
A próxima aproximação é escolhida pela fórmula “racionalizada”
com .
Basta repetir: até atingir a tolerância.

Passo 3

Encontrar intervalos com raiz única de
p(x)=x^4-3x^3+x^2+x+1
A gente calcula sinais em vários pontos:

  • logo há raiz em .

  • logo há raiz em .
    Nenhum outro intervalo muda de sinal em , então temos exatamente duas raízes reais nesses dois intervalos.

Passo 4

Aproximação das raízes reais com Müller
Escolhemos xreal,1approx1.39648, xreal,2approx2.30278 . Para cada intervalo fazemos três pontos iniciais – por exemplo – e iteramos o passo 2 até .
Isso dá, ao final,

Passo 5

Aproximação das raízes complexas
Para a parte © pegamos xcomp<=xos approx -0.34949 pm 0.43503,i , , e o mesmo critério de parada . Como Müller aceita iterar no plano complexo, obtemos a dupla de raízes conjugadas

Resposta

Raízes aproximadas de boxed x1approx1.39648, x2approx2.30278, x3,4approx -0.34949pm0.43503,i :

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