Considere a seguinte tabela:
x -2 -1 0 1 2
f(x) 0,2 0,1 0 0,1 0,2
n 0 1 2 3 4
Determine o polinômio de grau 4 que interpola os pontos utilizando a Forma de Lagrange.

Passo 1

Beleza, somos dados cinco pontos
(-2,0.2),;(-1,0.1),;(0,0),;(1,0.1),;(2,0.2)
e queremos achar um polinômio de grau 4 que passa por todos esses pontos usando a Forma de Lagrange.
Conteúdo: interpolação polinomial pelo método de Lagrange.
O que vamos precisar:
1. A fórmula geral de Lagrange
2. Calcular cada base
3. Somar e simplificar

Passo 2

Primeiro, a teoria: o polinômio de Lagrange é
p(x);=;sumi=0^4 f(xi),Li(x) com Li(x);=;prodsubstackj=0jneq i^4x - xjxi - xj
A ideia é que cada vale 1 em e 0 em todos os outros . Assim, ao somar, cada ponto “puxa” a sua altura .

Passo 3

Vamos numerar os pontos de x0=-2,;x1=-1,;x2=0,;x3=1,;x4=2, f(x0)=0.2,;f(x1)=0.1,;f(x2)=0,;f(x3)=0.1,;f(x4)=0.2 a d0=(-2+1)(-2-0)(-2-1)(-2-2) =(-1)(-2)(-3)(-4)=24 :
d1=(-1+2)(-1-0)(-1-1)(-1-2) =(1)(-1)(-2)(-3)=-6
(a) Calcular os denominadores d2=(0+2)(0+1)(0-1)(0-2) =2cdot1cdot(-1)cdot(-2)=4 :
  • Para d3=(1+2)(1+1)(1-0)(1-2) =3cdot2cdot1cdot(-1)=-6 ( d4=(2+2)(2+1)(2-0)(2-1) =4cdot3cdot2cdot1=24 ):
L0(x)=(x+1)(x-0)(x-1)(x-2)24, L1(x)=(x+2)(x-0)(x-1)(x-2)-6,;dots,; L4(x)=(x+2)(x+1)x(x-1)24
  • Para ( ):
  • Para ( ):
  • Para ( ):
  • Para ( ):
(b) Escrever cada usando numeradores e dividir por . Por exemplo,

Passo 4

Agora montamos
p(x) =0.2,L0(x) +0.1,L1(x) +0;cdot L2(x) +0.1,L3(x) +0.2,L4(x)
Aí é só multiplicar e somar tudo. Se você expandir e combinar termos semelhantes, vai ver que todos os termos de grau ímpar somam zero (a tabela era simétrica), sobrando só termos de grau par.
Depois de fazer a álgebra, chega-se a
p(x);=;-,160,x^4;+;760,x^2

Resposta

boxedp(x)=-160,x^4+760,x^2

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