Considere a seguinte tabela:
|
-2 | -1 | 0 | 1 | 2 |
---|---|---|---|---|---|
|
0,2 | 0,1 | 0 | 0,1 | 0,2 |
|
0 | 1 | 2 | 3 | 4 |
Determine o polinômio de grau 4 que interpola os pontos utilizando a Forma de Lagrange.
Passo 1
Beleza, somos dados cinco pontos
e queremos achar um polinômio
Conteúdo: interpolação polinomial pelo método de Lagrange.
O que vamos precisar:
1. A fórmula geral de Lagrange
2. Calcular cada base
3. Somar
Passo 2
Primeiro, a teoria: o polinômio de Lagrange é
A ideia é que cada
vale 1 em
e 0 em todos os outros
. Assim, ao somar, cada ponto “puxa” a sua altura
.
Passo 3
Vamos numerar os pontos de
a
:
(a) Calcular os denominadores
:
- Para
( ):
- Para
( ):
- Para
( ):
- Para
( ):
- Para
( ):
(b) Escrever cada
usando numeradores
e dividir por
. Por exemplo,
Passo 4
Agora montamos
Aí é só multiplicar e somar tudo. Se você expandir e combinar termos semelhantes, vai ver que todos os termos de grau ímpar somam zero (a tabela era simétrica), sobrando só termos de grau par.
Depois de fazer a álgebra, chega-se a