Para as funções deriváveis f e g, demonstre as seguintes regras de derivação:
dd x(fg)=d fd x cdot g-f cdot d gd xg^2

Passo 1

Beleza! A questão pede para a gente demonstrar a regra da derivada de uma divisão:
Calcular
ddx!l(tfracf(x)g(x)r)
e mostrar que dá
f'(x),g(x);-;f(x),g'(x)[g(x)]^2
Conteúdo: derivadas de funções, usando regra do produto e regra da cadeia. Para resolver, vamos reescrever a fração como um produto e aplicar essas regras passo a passo.

Passo 2

Primeiro, reescreve a fração como produto:
f(x)g(x) = f(x);cdot;l[g(x)r]^-1
Isso vale porque dividir por l(u(x),v(x)r)' = u'(x),v(x);+;u(x),v'(x) é o mesmo que multiplicar por . Agora vamos derivar um produto, usando a regra do produto:
Aqui e .

Passo 3

Calcular as derivadas de cada parte:
  1. v'(x) = -,g'(x)[g(x)]^2 .
  2. Para , usamos a regra da cadeia junto com a derivada de :
    • Se , então .
    • Então ’ = = .
      Ou seja,

Passo 4

Agora junta tudo na regra do produto:
ddx!l(tfracfgr) = f'(x),l[g(x)r]^-1 ;+;f(x),l(-,g'(x)[g(x)]^2r)
Isso é
= f'(x)g(x) ;-; f(x),g'(x)[g(x)]^2
Para somar essas frações, coloca mesmo denominador f'(x),g(x)[g(x)]^2 ;-; f(x),g'(x)[g(x)]^2 = f'(x),g(x);-;f(x),g'(x)[g(x)]^2 :

Resposta

boxedddx!l(f(x)g(x)r) = f'(x),g(x);-;f(x),g'(x)l[g(x)r]^2

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