93 Prove que 6 divide
, qualquer que seja o inteiro
.(Solução)
Passo 1
O enunciado dá um inteiro qualquer
e pede para provar que
divide
para todo inteiro
.\n
Informações relevantes dadas:
;Temos um número inteiro arbitrário
.\n
;Queremos mostrar que
é múltiplo de
, isto é, que existe um inteiro
tal que
.\n
Não vou resolver nada ainda — apenas deixei claro o que é pedido e o que temos.
Informações relevantes dadas:
Não vou resolver nada ainda — apenas deixei claro o que é pedido e o que temos.
Passo 2
Fatorização simples: vamos manipular
para ver sua estrutura. Calcule:
Agora note que
é uma diferença de quadrados, então
Portanto obtemos a fatoração completa
Explicação didática: escrevemos
como produto de três números inteiros consecutivos
. Essa observação é a chave: trabalhar com propriedades de números consecutivos costuma ser mais fácil.
Passo 3
Agora vamos mostrar que esse produto de três consecutivos é sempre múltiplo de
. Raciocínio:
- Se
é par, então é múltiplo de e pronto. - Se
é ímpar, então e são pares (pois paridade alterna), logo pelo menos um dos fatores é múltiplo de .
Portanto, em qualquer caso, pelo menos um dos fatores emé múltiplo de , logo
Passo 4
Agora mostramos que o mesmo produto é sempre múltiplo de
. Raciocínio por restos ao dividir por
(casos possíveis para um inteiro):
Um inteiro pode deixar resto
,
ou
na divisão por
. Em símbolos:
ou
.
Um inteiro
- Se
, então . - Se
, então , logo . - Se
, então , logo .
Em qualquer dos três casos, um dos fatoresé múltiplo de . Portanto
Passo 5
Já estabelecemos duas coisas importantes:
Isto é,
é divisível por
e por
.
Passo 6
Agora usamos um fato simples sobre divisibilidade: se um inteiro é divisível por
e por
simultaneamente, então ele é divisível por
. Explicação curta e didática:
e
são primos distintos (não têm fatores em comum), então o menor múltiplo comum (MMC) de
e
é
. Formalmente, se existe inteiro
com
e
, então
é múltiplo do MMC
, logo existe
com
. Assim
Passo 7
Concluímos, a partir da fatoração do Passo 2 e das observações dos Passos 3–6, que para todo inteiro
vale
Para ganhar confiança, veja alguns exemplos numéricos rápidos:
dá
(múltiplo de
);
dá
;
dá
;
dá
(divisível por
). Esses exemplos batem com a prova geral.