93 Prove que 6 divide n^{3}-n, qualquer que seja o inteiro n.(Solução)

Passo 1

O enunciado dá um inteiro qualquer n e pede para provar que 6 divide n^{3}-n para todo inteiro n.\n
Informações relevantes dadas:
\;1.;Temos um número inteiro arbitrário n.\n
\;2.;Queremos mostrar que n^{3}-n é múltiplo de 6, isto é, que existe um inteiro k tal que n^{3}-n=6k.\n
Não vou resolver nada ainda — apenas deixei claro o que é pedido e o que temos.

Passo 2

Fatorização simples: vamos manipular n^{3}-n para ver sua estrutura. Calcule:
n^{3}-n = n\bigl(n^{2}-1\bigr).
Agora note que n^{2}-1 é uma diferença de quadrados, então
n^{2}-1 = (n-1)(n+1).
Portanto obtemos a fatoração completa
n^{3}-n = n(n-1)(n+1).
Explicação didática: escrevemos n^{3}-n como produto de três números inteiros consecutivos n-1,\;n,\;n+1. Essa observação é a chave: trabalhar com propriedades de números consecutivos costuma ser mais fácil.

Passo 3

Agora vamos mostrar que esse produto de três consecutivos é sempre múltiplo de 2. Raciocínio:
  • Se n é par, então n é múltiplo de 2 e pronto.
  • Se n é ímpar, então n-1 e n+1 são pares (pois paridade alterna), logo pelo menos um dos fatores é múltiplo de 2.
    Portanto, em qualquer caso, pelo menos um dos fatores em n(n-1)(n+1) é múltiplo de 2, logo
2 \mid n(n-1)(n+1).

Passo 4

Agora mostramos que o mesmo produto é sempre múltiplo de 3. Raciocínio por restos ao dividir por 3 (casos possíveis para um inteiro):
Um inteiro n pode deixar resto 0, 1 ou 2 na divisão por 3. Em símbolos: n\equiv 0,1 ou 2\pmod{3}.
  • Se n\equiv 0\pmod{3}, então 3\mid n.
  • Se n\equiv 1\pmod{3}, então n-1\equiv 0\pmod{3}, logo 3\mid(n-1).
  • Se n\equiv 2\pmod{3}, então n+1\equiv 0\pmod{3}, logo 3\mid(n+1).
    Em qualquer dos três casos, um dos fatores n-1,\;n,\;n+1 é múltiplo de 3. Portanto
3 \mid n(n-1)(n+1).

Passo 5

Já estabelecemos duas coisas importantes:
2 \mid n(n-1)(n+1) \qquad\text{e}\qquad 3 \mid n(n-1)(n+1).
Isto é, n(n-1)(n+1) é divisível por 2 e por 3.

Passo 6

Agora usamos um fato simples sobre divisibilidade: se um inteiro é divisível por 2 e por 3 simultaneamente, então ele é divisível por 6. Explicação curta e didática: 2 e 3 são primos distintos (não têm fatores em comum), então o menor múltiplo comum (MMC) de 2 e 3 é 6. Formalmente, se existe inteiro a com a=2s e a=3t, então a é múltiplo do MMC (2,3)=6, logo existe k com a=6k. Assim
6 \mid n(n-1)(n+1).

Passo 7

Concluímos, a partir da fatoração do Passo 2 e das observações dos Passos 3–6, que para todo inteiro n vale
6 \mid n^{3}-n.
Para ganhar confiança, veja alguns exemplos numéricos rápidos: n=0 0^{3}-0=0 (múltiplo de 6); n=1 1^{3}-1=0; n=2 8-2=6; n=3 27-3=24 (divisível por 6). Esses exemplos batem com a prova geral.

Resposta

6\mid\bigl(n^{3}-n\bigr) para todo n\in\mathbb{Z}.

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