92 Prove que
. (Solução)
Passo 1
O enunciado pede provar que
divide
para todo
(vou entender que
é um inteiro não negativo,
, porque assim a expressão é inteira). As informações relevantes são:
Passo 2
Vou lembrar o que significa
. Dizemos que
se existe um inteiro
tal que
. É equivalente dizer que
, isto é,
tem resto zero na divisão por
. Vou usar propriedades simples de congruências: se
então para todo inteiro
vale
, e podemos somar congruências termo a termo.
Passo 3
Calculo a redução de
módulo
. Como
e
, temos
Passo 4
Reescrevo
de uma forma que permita usar a congruência acima:
Usando
e a propriedade de potências em congruências, obtemos
Passo 5
Reescrevo
também fatorando
:
Agora somo as duas expressões (usando as congruências):
Fatorando
do lado direito:
Passo 6
Como
, a expressão do passo anterior fica
Mas
é claramente múltiplo de
, logo
. Portanto
o que significa exatamente
.
Passo 7
Para ficar mais confiante, confira dois casos simples:
Ambos são múltiplos de
, conforme a demonstração geral.