92 Prove que 13 \mid\left(4^{2 n+1}+3^{n+2}\right), \forall n \leq 0. (Solução)

Passo 1

O enunciado pede provar que 13 divide 4^{2n+1}+3^{n+2} para todo n (vou entender que n é um inteiro não negativo, n\ge 0, porque assim a expressão é inteira). As informações relevantes são:
\text{queremos mostrar } \;13 \mid \bigl(4^{2n+1}+3^{n+2}\bigr)\quad\text{para todo }n\ge 0.

Passo 2

Vou lembrar o que significa 13\mid a. Dizemos que 13\mid a se existe um inteiro k tal que a=13k. É equivalente dizer que a\equiv 0\pmod{13}, isto é, a tem resto zero na divisão por 13. Vou usar propriedades simples de congruências: se x\equiv y\pmod{13} então para todo inteiro m\ge 0 vale x^m\equiv y^m\pmod{13}, e podemos somar congruências termo a termo.

Passo 3

Calculo a redução de 4^2 módulo 13. Como 4^2=16 e 16-13=3, temos
4^2\equiv 3 \pmod{13}.

Passo 4

Reescrevo 4^{2n+1} de uma forma que permita usar a congruência acima:
4^{2n+1}=4\cdot(4^2)^n.
Usando 4^2\equiv 3\pmod{13} e a propriedade de potências em congruências, obtemos
4^{2n+1}\equiv 4\cdot 3^n \pmod{13}.

Passo 5

Reescrevo 3^{n+2} também fatorando 3^n:
3^{n+2}=3^n\cdot 3^2=3^n\cdot 9.
Agora somo as duas expressões (usando as congruências):
4^{2n+1}+3^{n+2}\equiv 4\cdot 3^n + 9\cdot 3^n \pmod{13}.
Fatorando 3^n do lado direito:
4^{2n+1}+3^{n+2}\equiv (4+9)\cdot 3^n \pmod{13}.

Passo 6

Como 4+9=13, a expressão do passo anterior fica
4^{2n+1}+3^{n+2}\equiv 13\cdot 3^n \pmod{13}.
Mas 13\cdot 3^n é claramente múltiplo de 13, logo 13\cdot 3^n\equiv 0\pmod{13}. Portanto
4^{2n+1}+3^{n+2}\equiv 0\pmod{13},
o que significa exatamente 13\mid\bigl(4^{2n+1}+3^{n+2}\bigr).

Passo 7

Para ficar mais confiante, confira dois casos simples:
\text{se }n=0:\;4^{1}+3^{2}=4+9=13=13\cdot 1;
\text{se }n=1:\;4^{3}+3^{3}=64+27=91=13\cdot 7.
Ambos são múltiplos de 13, conforme a demonstração geral.

Resposta

13 \mid\left(4^{2 n+1}+3^{n+2}\right) para todo n\ge 0.

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